Apuntes y grabaciones del curso 2022

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• Semana 1
• Jueves 3 de marzo:
  
• Los complejos como cuerpo algebraico, módulo, distancia, convergencia de sucesiones y series. Series de potencias y radio de convergencia, función exponencial, fórmula de Euler.
• Video (código: s6!3m6^v), diapositivas.
• Semana 2
• Martes 8 de marzo:
• Funciones complejas de variable compleja, funciones holomorfas y ejemplos, entre ellos series de potencia. Si f es holomorfa sus funciones coordenadas son diferenciables y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, vale el recíproco. Función compuesta y regla de la cadena. Vínculo entre las funciones holomorfas en la bola unidad abierta y las series de Fourier.
• Video (código: 81kr+fDf), diapositivas.
• Jueves 10 de marzo:
  
• Transformaciones de Möbius y sus propiedades. Composición de transformaciones de Möbius es de Möbius, las transformaciones de Möbius son invertibles y su inversa es de Möbius, transformaciones elementales, toda transformación de Möbius es composición de transformaciones elementales. Las transformaciones de Möbius llevan circunferencias y rectas en circunferencias y rectas. Dado dos tripletas de puntos distintos del plano complejo extendido existe una única transformación de Möbius que lleva una tripleta en la otra. Definición de puntos inversos o puntos simétricos, las transformaciones de Möbius preservan puntos simétricos. Cálculo de las transformaciones de Möbius que llevan el disco unidad en el disco unidad.
  
• Video (código: iX89t=Xh), diapositivas.
  
• Semana 3
• Martes 15 de marzo.
• Repaso de la definición de derivada y de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Sucesiones y series de números complejos. Series de funciones y series de potencias.
• Video(código: =e9DD&mU), Diapositivas
• Jueves 17 de marzo.
• Integrales de línea, teorema de Cauchy.
• Video (código: hx10X8%T), diapositivas.
• Semana 4
• Martes 22 de marzo.
• Fórmula del índice y  fórmula de Cauchy. Toda función holomorfa es representable en serie de potencias. Si existe una primitiva entonces la integral en toda curva cerrada es cero.
• Video (código: *7YR+GEg), diapositivas.
• Jueves 24 de marzo.
• Aplicaciones, ceros de una función holomorfa y singularidades.
• Video (código: nbjD!7u+), diapositivas.
• Semana 5
• Martes 29 de marzo.
• Singularidades y propiedades globales: estimativas de Cauchy y teorema de Liouville.
• Video (código: UZ7!t1ye), diapositivas.
• Jueves 31 de marzo
• Teorema fundamental del álgebra y teorema del módulo máximo. Teorema de la función inversa, teorema de estructura local, funciones holomorfas no constantes son abiertas, funciones holomorfas e inyectivas tienen derivada que no se anula.
• Video (código: e7H2J^@W), diapositivas.
• Semana 6
• Martes 5 de abril
• Más sobre el teorema y la fórmula de Cauchy, demostración del teorema de Cauchy (y de la fórmula de Cauchy) para curvas en dominios simplemente conexos.
• Video (código: 3kJzC$Bu), diapositivas
• Jueves 7 de abril
• Teorema de Cauchy en ciclos, funciones meromorfas y teorema de los residuos. Cálculo de los residuos y aplicaciones.
• Video (código: 1ws!5?Li), diapositivas
• Semana 7: es turismo
• Semana 8
• Martes 19 de abril
• Teorema de los residuos, cálculo de integrales por el método de los residuos. Ejemplos canónicos.
• Video (código: 6M4=^y^v), diapositivas.
• Jueves 21 de abril
• Principio del argumento para funciones meromorfas. Ejemplos y como aplicación el teorema de Rouché.
• Video (código: c%D%TOZ6), diapositivas.
• Semana 9
• Martes 26 de abril
• Desarrollo de Laurent.
• Video (código: &Gcf%DE8), diapositivas.