Geometría y Álgebra Lineal 1

OBJETIVO GENERAL: Comprender y manejar las técnicas algebraicas básicas, teóricas y operatorias, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, escalerización y álgebra de matrices. Estructurar el álgebra lineal según el modelo geométrico de vectores. Construir y asimilar el modelo axiomático de espacio vectorial a partir de los ejemplos de matrices, vectores y solución de sistemas de ecuaciones lineales.

TEMARIO:

1. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices: 
   - Presentación de sistemas lineales, resolución de casos simples.
   - Transformaciones elementales.
   - Notación matricial para los sistemas, escalerización.
   - Teorema de Rouché-Frobenius.
   - Álgebra de matrices.
   - Matrices especiales (diagonales, triangulartes, matrices elementales).
   - Ecuaciones matriciales.
   - Matriz inversa y cálculo de la inversa.
   - Rango de una matriz.
   
   
2. Determinantes:
   - Determinantes de matrices de orden 2 y 3.
   - Cálculo de forma inductiva.
   - Propiedades.
   - Relación con la inversa.
   - Aplicaciones en la resolución de sistemas de ecuaciones.
   
   

3. Geometría en el espacio:
   - Coordenadas, operaciones entre puntos y vectores.
   - Ecuación de rectas y planos.
   - Producto escalar y producto vectorial.
   - Normal a un plano, perpendicularidad, distancias.
   

4. Espacios vectoriales:
   - Definiciones de espacio vectorial y subespacio de un espacio vectorial.
   - Intersección de subespacios vectoriales.
   - Generadores, conjuntos LI, bases y dimensión de espacios vectoriales.
   - Obtención de bases que contengan un conjunto LI dado y/o estén contenidas en un conjunto generador dado.
   - Propiedades de bases y generadores.
   - Noción de dimensión.
   - Ejemplos de cálculos de dimension de espacios vectoriales.
   - Ejemplos de espacios de dimensión infinita. 
   - Bases ordenadas y mapas de coordenadas.
   - Suma y suma directa de subespacios vectoriales.

5. Transformaciones lineales:
   - Definición de una transformación lineal. Ejemplos.
   - Operaciones con transformaciones lineales. 
   - Matriz asociada a una transformación lineal respecto a una base ordenada del dominio y otra del codominio.
   - Cambios de base. Operaciones con transformaciones lineales y su correlación a nivel de matrices asociadas. 
   - Núcleo e imagen de una transformación lineal.
   - Isomorfismos lineales.
   - Teorema de las dimensiones.
   - Rango de una transformación lineal y rango de una matriz.
   - Isomorfismos lineales.

• Semana 1 (del 5 al 9 de agosto): Presentación del curso. Sistemas de ecuaciones lineales y su representación matricial. Escalerización.
• Semana 2 (del 12 al 16 de agosto): Teorema de Rouché-Frobenius y aplicaciones. Sistemas homogéneos.
• Semana 3 (del 19 al 23 de agosto): Álgebra de matrices: suma y producto, producto por un escalar. Traspuesta e inversa de matriz. Propiedades.
• Semana 4 (del 26 al 30 de agosto): Cálculo de la inversa de una matriz. Matrices elementales.
• Semana 5 (del 2 al 6 de setiembre): Determinante de una matriz. Definición y propiedades. Teorema de Binet-Cauchy. Determinante de matrices invertibles.
• Semana 6 (del 9 al 13 de setiembre): Geometría: Ecuaciones de la recta, ecuaciones del plano e intersecciones.
• Semana 7 (del 16 al 20 de setiembre):  Continuamos con geometría. Producto vectorial y escalar. 
• Primeros Parciales (del 21 de setiembre al 1 de octubre).