Hola, me quedaron dudas del final de la demostracion del campo gravitacional que no tiene potencial vector.
Garcias
Puede ser complicado entenderlo, creo que lo mejor es sentarse tranquilo a hacer las cuentas teniendo esos apuntes como una guia. Te recomiento eso, otra cosa no se decirte porque no se que es lo que no entendes exactamente. Saludos
Gabriel
Hola, es un poco trabajoso de ingresar por fórmulas, pero te digo la idea (de todos modos, te aclaro que no es necesario que sepas los detalles para el parcial o examen)
la idea es que si hubiera un potencial vector Y=(P,Q,R) del campo r/r^3, entonces, tendría que cumplir
Ry-Qz=x/r^3
Pz-Rx=y/r^3
Qx-Py=z/r^3
usando las dos primeras (integrando respecto de z a partir de 0, por ejemplo) y usando que Rxy=Ryz,
se obtiene una expresión para Qx-Py, que es
Qx(x,y,0)-Py(x,y,0)-z(2r^2-3(x^2+y^2))/r^5, que tendría que dar igual que z/r^3
si Y fuese un potencial vector. Pero eso no puede ser, en efecto, pasando el término -2z/r^3 para el otro lado y evaluando en (0,0,z) con z distinto de cero, se obtiene
Qx(0,0,0)-Py(0,0,0,)=3/z^2
que es absurdo porque de un lado es constante y del otro es una función de z
Saludos y suerte,
Jana
jana sigo con la duda, la integral de y/r^3 no es (z-zo)y/r^3, porque el r depende de z.
y porque cuando estamos integrando la igualdad de los dos lados,de un lado integrams en dz y al final integramos en dt.
gracias
y porque cuando estamos integrando la igualdad de los dos lados,de un lado integrams en dz y al final integramos en dt.
gracias
tenés razón! también lo notó Alejandro Barreto, les agradezco.
No sé si se ve esto entre todos los que han consultado. Por favor, si saben una forma, avisen.
Hay una forma más simple de ver que no puede haber un potencial vector para X=r/r^3:
supongamos que lo hubiera, entonces tendríamos X=rot Y para algún campo Y
Calculemos el flujo de X a través de una esfera S de radio R centrada en el origen.
Por un lado tenemos int int_S X.N dS=4pi (ya lo hemos calculado, ver por ejemplo la ley de Gauss)
Por otro lado, partimos la esfera en dos casquetes S1 y S2 pueden ser superior e inferior, o derecho e izquierdo, da lo mismo. Aplicamos Stokes y tenemos
int int_S X.N dS= int int_S1 X.N dS + int int_S2 X.N dS=
= int int_S1 rot Y. NdS+int int_S2 rot Y.N dS= int_C Yds - int_C Yds=0
donde C es el borde de S1 y también de S2, sólo que por la orientación una vez es recorrido en sentido horario y otro en sentido antihorario, por lo que se anulan, esto contradice que el flujo es 4pi. Por eso no puede haber potencial vector.
Espero que esta vez haya quedado claro.
Pido mil disculpas por la confusión.
Tengan en cuenta que, como indiqué más arriba, esto no iba para el parcial, de todos modos era importante que tuvieran una respuesta correcta.
Saludos y disculpas
Jana