No entiendo como darme cuenta hasta donde derivar para calcular el limite y poder despejar a y b
Creo que lo que tenes que hacer, por ejemplo en el primero es:
Desarrollarlo con Mc Laurin hasta que la 4ta derivada te da ae^x, entonces las siguientes derivadas de van a dar lo mismo. y luego darle un valor a "a" y a "b" para que se te eliminen los primeros términos que son los que tienden mas lento a 0 cuando x lo hace.
PD: otra forma de darte cuenta hasta donde derivar es, hacerlo hasta cuando vos pongas x=0 en la derivada se te forme una ecuacion con a y b como incógnitas, entonces cuando tengas dos ecuaciones con dos incógnitas las igualas a 0, resolves el sistema y hallas el valor de a y b
Lo que importa son los x de menor grado, por lo que da lo mismo hasta donde lo hagas si lo desarrollas hasta la derivada 21 todas las x^5,x^6....x^21 no importan para nada solo importa la mas chica.
Asi que si no estas seguro de hasta donde lo tenes que hacer hacelo de mas que da lo mismo.
Igual te podes hacer una idea de hasta donde lo tenes que hacer mirando el limite si hay un x^2 lo mas probable que lo tengas que derivar hasta la 3 si hay un x^3 seguramente lo tengas que derivar hasta la 4
El marenco hizo un ejercicio de esos te paso el link https://eva.fing.edu.uy/mod/forum/discuss.php?d=47573
ahi te das cuenta que como habia un x^2 lo hizo hasta el 3 igual no siempre es tan asi, por eso si no estas seguro mejor derivarlo un par de veces mas