sea f continua con derivada segunda contina en el intervalo [o,π] tal que
$$ \int_{0}^{ \pi }(f(x)+ f''(x))sen(x)\,dx$$ = 0
entonces se cumple: (sugerencia, usar dos veces partes)
a) f(π) = - f(0)
b) f(π) = f(0)
c) f(π)= 2f(0)
d) f(π) = π f(π)
e) f(π)= f(0) = 0
llegue a la respuesta A, pero no tengo las soluciones, queria saber si alguien conoce el ejercicio y si llego a lo mismo... creo q es de un examen.
saludos
Buenas, ¿de qué examen es esta pregunta?
Para reolverlo, podés plantear:
$$\int_{0}^{\pi}(f(x)+f''(x))\sin (x) \, \mathrm{d}x=0\Leftrightarrow \int_{0}^{\pi}f(x)\sin (x) \, \mathrm{d}x=-\int_{0}^{\pi}f''(x)\sin (x) \, \mathrm{d}x$$
Aplicando partes del lado izquierdo:
$$\int_{0}^{\pi}f(x)\sin (x) \, \mathrm{d}x = -\cos (x)f(x)\Big|_0^\pi+\int_{0}^{\pi}f'(x)\cos (x) \, \mathrm{d}x=f(\pi)+f(0)+\int_{0}^{\pi}f'(x)\cos (x) \, \mathrm{d}x$$
Ahora al lado derecho:
$$\int_{0}^{\pi}f''(x)\sin (x) \, \mathrm{d}x = \sin (x)f'(x)\Big|_0^\pi-\int_{0}^{\pi}f'(x)\cos (x) \, \mathrm{d}x=-\int_{0}^{\pi}f'(x)\cos (x) \, \mathrm{d}x$$
Volviendo a la igualdad original:
$$f(\pi)+f(0)+\int_{0}^{\pi}f'(x)\cos (x) \, \mathrm{d}x=\int_{0}^{\pi}f'(x)\cos (x) \, \mathrm{d}x\Rightarrow f(\pi)=-f(0)$$
Saludos
bien, Gracias! no se de que examen es, me dijeron que era de examen.... igual busque por arriba en los anteriores y no lo encontre asi que no estoy seguro que sea de examen..
saludos!