Ejercicio 7 Practico 7

Ejercicio 7 Practico 7

de Luciano Bello Tarela -
Número de respuestas: 1

No me anda la app para escribir ecuaciones, disculpen.

Me dan f(x) 
Es una funcion, trigonometrica, con seno hiperbolico y aparte, a eso sumado un polinomio.
Piden taylor de grado 3.
La primer duda que tengo es si:
El polinomio de taylor de la parte trigonometrica de la funcion, sumado a la parte polinomica, me da igual que el polinomio de taylor de toda la funcon f (parte trigonometrica y polinomica incluidas).
Creo que es lo logico pero por las dudas pregunto.

Segundo:
Usando ese razonamiento, escribo el Pn(3,0) (Parte uno del ejercicio)
Para la parte 2, me piden el resto de lagrange:
Me queda:
(senh(x).x^4)/4!
Senohiperbolico de x, por x a 4. Todo dividido por 4 factorial. (Perdon que no use la herramienta para las ecuaciones).

En fin, y la parte de demostrar que ese numero es menor a 3/8 para todo x menor que 1. No me sale.
Y ahi es donde preciso ayuda. Alguien lo hizo?

En respuesta a Luciano Bello Tarela

Re: Ejercicio 7 Practico 7

de Bernardo Marenco -

1) Sí, el polinomio de Taylor de orden n de la suma es la suma de los polinomios de Taylor  de orden n (siempre y cuando todas las funciones involucradas sean hasta orden n derivables).

2) El resto de Lagrange en realidad queda:

$$r_3(x)=6\sinh(c)\frac{x^4}{4!}=\sinh(c)\frac{x^4}{4}$$

con $$c \in(0,x)$$. Como $$x\in[0,1]$$ resulta $$c\in(0,1)$$. Como el seno hiperbólico es creciente y $$x^4$$ también, resulta:

$$0 \leq r_3(x)\leq\frac{\sinh(1)}{4}\leq\frac{3}{8}$$

La última desigualdad se cumple porque $$\sinh(1)\leq\frac{3}{2}$$.

Saludos