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Buenas,

la idea es usar la derivada de la composición de funciones (regla de la cadena) y el teorema de la función inversa. Por regla de la cadena, la derivadad de f(x) será:

$$f'(x)=\left(g^{-1}\right)'(1+\sin x)\cos x \Rightarrow f'(\pi)=-\left(g^{-1}\right)'(1)$$

Ahora, por el teorema de la función inversa:

$$\left(g^{-1}\right)'(1)=\frac{1}{g'(g^{-1}(1))}$$

Falta calcular la preimagen de 0 por g:

$$g^{-1}(1)=x\Leftrightarrow g(x) = 1 \Leftrightarrow \frac{e^x-e^{-x}}{2}=1\Leftrightarrow x =\ln(1+\sqrt 2)$$

La derivada de g es:

$$g'(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\Rightarrow g'(\ln(1+\sqrt 2)) = \frac{2+\sqrt 2}{1+\sqrt 2}$$

Entonces:

$$f'( \pi)= -\frac{1+\sqrt 2}{2+\sqrt 2}$$