Hola, la afirmacion 2 del ejercicio 1 dice: z1.z2.z3.z4=z04, donde z0 es la raíz de menor argumento positivo.
z=1+i, ahora, yo halle las 5 raices, hice z1.z2.z3.z4 y me da el mismo modulo que z04 pero el argumento me da 2∏, mientras el argumento de z04 me da 1/5∏. Sin embargo la resolucion dice que la afirmación es cierta. Alguien sabe por que? O que hice mal? Gracias!
Hola, supongo que el argumento te quedó : $$ \frac{8 \cdot k+1}{20} \cdot \pi $$ con k de 0 a 4.
Para multiplicar las raíces por la propiedad de exponente te queda:
$$\left( \sqrt[10]{2} \right)^{4} \cdot e^{ \sum_{{k}={1}}^{4} \frac{ \pi \cdot i \cdot \left(8 \cdot k+1\right)}{20} } $$
$$\left( \sqrt[10]{2} \right)^{4} \cdot e^{\left( \frac{ \pi \cdot i }{20} \right)(9 + 17 + 25 + 33)}$$
Por lo tanto el argumento te da $$\frac{21\cdot\pi}{5}$$, le restas $$4\cdot\pi$$ y te queda $$\frac{\pi}{5}$$
No, te explico el procedimiento que hice..
$$ \sqrt[5]{\left(1+i\right)} = \sqrt[10]{2_{ \frac{ \Pi }{4} }} $$
Siendo π/4 el argumento.
Despues halle los angulos de cada raíz..
$$ \alpha _{0}= \frac{45.360 \cdot 0}{5} =9$$
$$ \alpha _{1}= \frac{45.360 \cdot 1}{5} =45$$
$$ \alpha _{2}= \frac{45.360 \cdot 2}{5} =153$$
$$ \alpha _{3}= \frac{45.360 \cdot 3}{5} =225$$
$$ \alpha _{4}= \frac{45.360 \cdot 4}{5} =297$$
Ahora hago $$z_{0}^{4}=\left|2^{ \frac{2}{5} }\right|_{ \frac{ \Pi }{5} }$$
Y finalmente, $$z_{1} \cdot z_{2} \cdot z_{3} \cdot z_{4}=\left|2^{ \frac{2}{5} }\right|_{4 \cdot \Pi }$$
Entonces me quedan distintos los ángulos. No se si se entendio, o ni si esta bien como lo hice
No se de donde salen las ecuaciones que utilizaste para calcular los ángulos. Para calcular bien los argumentos de las raíces, lo más simple es plantear:
$$\sqrt[5]{1+i}=z \Leftrightarrow z^5=1+i=\sqrt{2}e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}$$
En estos casos lo mejor es escribir el complejo z como módulo y ángulo:
$$z=re^{i\theta}\Rightarrow z^5=r^5e^{i5\theta}$$
Imponiendo que sea solución a tu ecuación:
$$z^5=1+i=\sqrt{2}e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)} \Leftrightarrow r^5e^{i5\theta}=\sqrt{2}e^{i\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)}$$
Igualando módulo y argumento se llega a:
$$r=\sqrt[10]{2} \text{ y } \theta_k = \frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{5}=\frac{8k+1}{20}\pi$$
El resto del procedimiento es el que Juan José escribió ahí arriba.
Saludos
Dale, intento de esa forma. No fui a muchas clases de complejos y tuve que revolverme con internet. Muchas gracias!
El procedimiento que habia hecho estaba bien, revise los calculos y me dieron mal los angulos.
Las ecuaciones correctas serían:
$$ \alpha _{0}= \frac{45+360 \cdot 0}{5} =9$$
$$ \alpha _{1}= \frac{45+360 \cdot 1}{5} =81$$
$$ \alpha _{2}= \frac{45+360 \cdot 2}{5} =153$$
$$ \alpha _{3}= \frac{45+360 \cdot 3}{5} =225$$
$$ \alpha _{4}= \frac{45+360 \cdot 4}{5} =297$$
Entonces..
arg(z0)x4=9x4=36
arg(z1+z2+z3+z4)=81+153+225+297=756 ==> 756-720=36