Foro de estudiantes

Buenas,

la idea es hallar la derivada de f en 0. Para eso estudiás el límite del cociente incremental:

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{g(h)}{\sum\limits_{i=N}^3 h^i}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{g(h)}{h\sum\limits_{i=N}^3 h^i}$$

Si N = 0, el límite queda:

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{g(h)}{h(1+h+h^2+h^3)}$$

Como $$g(0)=g'(0)=0 \Rightarrow \lim\limits_{h\to 0}\frac{g(h)}{h}=0$$, entonces en ese caso:

$$f'(0) = \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=0$$

Si N = 1, el límite queda:

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{g(h)}{h(h+h^2+h^3)}$$

Ahora el límite queda del tipo $$\frac{0}{0}$$, por lo que se puede aplicar L'Hopital (es necesario hacerlo 2 veces):

$$\lim\limits_{h\to 0}\frac{g(h)}{h(h+h^2+h^3)}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{g'(h)}{2h+3h^2+4h^3}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{g''(h)}{2+6h+12h^2}=\frac{g''(0)}{2}=\frac{\pi}{2}$$

Al final se utilizó que g tiene todas sus derivadas continuas en un entorno de 0.

Saludos