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Buenas,

para empezar, una condición necesaria (no suficiente) para que f sea derivable en 0 es que sea continua en 0 (si f no es continua en 0, no puede ser derivable). Eso es lo primero que hay que asegurar. Por definición, f es continua en 0 si:

$$\lim\limits_{x \to 0}f(x)=f(0)=1$$

Para que el límite exista, los límites laterales deben ser iguales a 1. Por izquierda, da 1 trivialmente, por lo que hay que mirarlo por derecha:

$$\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+}\ln(\beta(x+\gamma))=\ln(\beta\gamma)$$

Entonces:

$$\ln(\beta\gamma)=1\Leftrightarrow \boxed{\beta\gamma = e}$$

Si se cumple esa condición, f va a ser continua en 0. Ahora sí la función tiene chances de ser derivable en 0. Para ello, el siguiente límite tiene que existir y ser finito:

$$\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(h)-1}{h}$$

Esto implica que los límites laterales sean iguales:

$$\lim\limits_{h \to 0^-}\frac{f(h)-1}{h}=\lim\limits_{h \to 0^-}\frac{e^{\sin(\alpha h)}-1}{h}=\lim\limits_{h \to 0^-}e^{\sin(\alpha h)}\alpha\cos(\alpha h)=\alpha$$

$$\lim\limits_{h \to 0^+}\frac{f(h)-1}{h}=\lim\limits_{h \to 0^+}\frac{\ln(\beta(h+\gamma))-1}{h}=\lim\limits_{h \to 0^+}\frac{1}{h+\gamma}=\frac{1}{\gamma}$$

Para resolver ambos límites se aplicó L'Hopital. Finalmente, para que f sea derivable en 0:

$$\lim\limits_{h \to 0^-}\frac{f(h)-1}{h}=\lim\limits_{h \to 0^+}\frac{f(h)-1}{h} \Leftrightarrow \boxed{\alpha = \frac{1}{\gamma}}$$

Entonces, la correcta es la (E), porque es la única que verifica ambas condiciones (f continua y derivable en 0).

Saludos