Tengo una duda, para mi que converge en todos los casos menos el b, pero no se si esta bien, si alguien me confirma, gracias!
El (a) diverge, el (b) converge, el (c) hay casos que converge y otros no, el (d) converge.
Un ejemplo en el que puedes ver que $$\sum (a_{n})^2$$ converge si $$\sum a_{n}$$ converge y $$ a_{n} >0 $$ es el siguiente: Sabemos que $$\sum\frac{1}{n^2}$$ converge y dado que en este caso $$(a_{n})^2$$ es igual a $$\frac{1}{n^4}$$, que también sabemos que converge, entonces, en este ejemplo $$\sum (a_{n})^2$$ también converge.
Muchas gracias!
El ejemplo está bien, pero para probarlo en general no alcanza. Hay que probar que se cumple siempre que si $$ a_n\geq 0$$ y $$\sum a_n$$ converge entonces $$\sum a_n^2$$ converge.
Para eso se puede decir que como $$\sum a_n$$ converge entonces $$a_n\to0$$, de donde existe $$n_0$$ tal que $$a_n<1\ \forall n\geq n_0$$. Entonces $$a_n^2\leq a_n\ \forall n\geq n_0$$ y usando el criterio de comparación tenemos que $$\sum a_n^2$$ converge.
En las otras partes del ejercicio en a) hay que probar que diverge y en d) hay que probar que converge. Para c) si hay que encontrar ejemplos donde converja y otros donde diverja.
En la parte (a), si $$\sum a_{n}$$ converge, entonces $$\lim_{n\to \infty}a_{n}=0$$, entonces $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_{n}}=\infty$$ que es distinto de cero. Por lo tanto, $$\sum \frac{1}{a_{n}}$$ diverge.
En la parte (c) si consideramos $$a_{n}=\frac{1}{n^4}$$ tenemos que $$\sqrt{a_{n}}$$ es igual a $$\frac{1}{n^2}$$ y sabemos que $$\sum\frac{1}{n^2}$$ converge, entonces, este es un ejemplo de convergencia. Análogamente, si consideramos el caso en que $$a_{n}$$ es igual a $$\frac{1}{n^2}$$ llegaremos a la conclusión que es un caso de ejemplo en que la serie considerada diverge.