Por vueltas y vueltas en el ejercicio 10.b del práctico 4 vi que $$ \lim_{n\to\infty} \frac{2 \cdot n^{n}}{\left(n+1\right)^{n}} = \frac{2}{e} $$
Verificación en Wolfram (Link)
Ahora necesito saber como se llega a ese 2/e. No encuentro forma de simplificarlo hasta ese punto. Alguien sabe como ?
En algún punto probablemente hay que usar $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n}=e$$ pero nop se :/.
Desde ya gracias :D .
lim 2nn/(n+1)n=lim 2(n/n+1)n, el limite de eso te da algo que tiende a 1 a la +infi, que es indeterminado. para sacarte ese tipo de indeterminaciones podes aplicar
AB=eL(A^B)=eB.L(A)
Eso te va a ayudar a resolver el limite
Hola Sebastián!
Ahí ya estás bastante cerca, en realidad eso lo podés escribir como una constante (2), por n^n/ (n+1)^n, y esto último es lo mismo que (n/n+1)^n, si te das cuenta el inverso de esa fracción es (n+1/n)^n = (1+1/n)^n= e, pero tu no tienes eso, sino, el inverso, entonces lo que tienes es 1/e, que por multiplicado por 2 es 2/e .Espero q te haya servido.
Saludos!
Luego que se reescribe el límite y aparece el factor $$(\frac{n}{n+1})^n$$ es fácil ver que si divides el númerador y el denominador por n, en el denominador te queda, luego de aplicar $$\lim\frac{a(n)}{b(n)}=\frac{\lim a(n)}{\lim b(n)}$$, si $$\lim{b(n)}$$ es distinto de cero, el límite que tiende a e; y en el numerador aparece el límite de $$1^n$$ que es igual a 1 (ya que no es una indeterminación ''uno a la infinito'' porque no se tiende a 1). Luego de esto aparece naturalmente que el resultado del límite es 2/e.
Muchas gracias, me ayudaron ;).