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cuidado que │an│ es distinto de 1+1/n..

 │a +b│ es distinto que │a│+ │b│

por ejemplo

a1=1-1/1=0 

y │a1│=0

pero segun lo que pusiste te quedaria que │a1│=1+1/1=2

para estudiar la monotonia podes ir probando con algunos valores de n a ver que pasa, calculas a1 a2 a3 a4 y ves si eso parece tener alguna monotonia o no. Si te parece que tiene no alcanza con que hallas calculado algunos an, tendrias que estudiar la desigualdad an≤a(n+1) o al reves y ver si se cumple para todo n o no. 

Para estudiar si esta acotada, si miras la sucesion tenes 1 y a veces le vas a restar y otras veces sumar 1/n. pero 1/n≤1 para todo n. entonces a lo sumo le vas a restar o sumar 1. 1+1=2 como mucho, y 1-1=0. 0 entonces es una cota inferior, y 2 es una cota superior. (no importa si llega o no a la cota, con que encuentres una para ver si esta acotada esta bien)

Por ultimo para estudiar convergencia es solo hacer el limite de la sucesion, en este caso lim 1+ (-1)^n/n con n tendiendo a +infi