Segundo parcial 2010, ejercicio 2

Segundo parcial 2010, ejercicio 2

de Veronica Viviana Pintos Fernandez -
Número de respuestas: 4

Sea L un lenguaje de primer orden con igualdad, con tipo de similaridad <1,1; −; 0>

Sean las formulas:
ϕ1 = (∃x)(∃y)¬x=y
ϕ2 = P(x) ∨ Q(x)
ϕ3 = P(x) → ¬Q(x)
ϕ4 = (∃x)P(x) ∧ (∃x)Q(x)


a. Determine si existe una estructura M tal que M |= ϕ2 ∧ ϕ3 ∧ ϕ4. Justifique.
b. ¿Es cierto que para cualquier estructura M del tipo adecuado se cumple que si M |= ϕ2 ∧ϕ3 ∧ϕ4 entonces M |= ϕ1? ¿ Se cumple el recıproco? Justifique.
c. Determine si existe una estructura M tal que M |= ϕ3 ∧ ϕ4 y M no |= ϕ2. Justifique.

Para la parte a encontré un M/ M |= ϕ2 ∧ ϕ3 ∧ ϕ4.

Para la parte b, encontré un M1 |= ϕ1 y por ejemplo M1 no |= ϕ3. Entonces el recíproco no se cumple. Pero el directo no sé como probarlo.

Para la parte c, si alguien me da una pista de qué estructura puedo usar..

Muchas gracias, 

Verónica

En respuesta a Veronica Viviana Pintos Fernandez

Re: Segundo parcial 2010, ejercicio 2

de Diego Pereira Barneche -

Yo en particular para la parte b me es mas facil probar el contrareciproco, osea M no modela a 1, entonces M no modela a 2 y 3 y 4.
Que si vas a la interpretación quiere decir que si M no tiene dos elementos diferentes entonces no pasa lo que dicen 2 y 3 y 4.
Me explico?
Y para la parte C podes dar una estructura que tenga una tercer relación, por ejemplo M = < { 1,2,3}, {1},{2},{3}>

Espero te sirva
Saludos

En respuesta a Veronica Viviana Pintos Fernandez

Re: Segundo parcial 2010, ejercicio 2

de Andres Sebastian Bentos Gomez -

Gente, les hago una pregunta.

Si tengo esto:

 M |= (P(x) ∨ Q(x)) ∧ (P(x) → ¬Q(x)) ∧( (∃x)P(x) ∧ (∃x)Q(x))

Cuando aplico el teorema 2.4.5 para la clausura :

Me queda:

(All a ) M |= (P(a) ∨ Q(a)) ∧ (P(a) → ¬Q(a)) ∧( (∃x)P(a) ∧ (∃x)Q(a))

y luego sigo con los (∃x) y aplico 2.4.5

o queda así:

(All a ) M |= (P(a) ∨ Q(a)) ∧ (P(a) → ¬Q(a)) ∧( (∃x)P(x) ∧ (∃x)Q(x))

y al aplicar 2.4.5 para el Existe me queda

(All a)(Existe b)(Existe c)M |= (P(a) ∨ Q(a)) ∧ (P(a) → ¬Q(a)) ∧( (∃x)P(b) ∧ (∃x)Q(c)) .

No se cuál está correcta. Por un lado se me da por interpretar el para todo los x con a , inclusive los que están con Existe, pero me parece que está mal, que esos existe tienen que tener un valor distinto a a.


¿Cuál de las dos formas es la correcta?

Gracias

Andrés

En respuesta a Andres Sebastian Bentos Gomez

Re: Segundo parcial 2010, ejercicio 2

de Diego Pereira Barneche -

La primera en realidad esta mal, porque le estas aplicando la clausura a ((∃x)P(a) ∧ (∃x)Q(a)) cuando la clausura para este termino es diferente, es mas es el mismo termino.
Te conviene usar 2.4.5 para separar onda:
 M |= (P(x) ∨ Q(x))

 M |= (P(x) → ¬Q(x))

 

M |= ( (∃x)P(x) ∧ (∃x)Q(x))

Y ahí les aplicas las clausuras y haces el estudio por interpretación.

Saludos