Consultas de pruebas anteriores

Buenas

Vamos ejercicio por ejercicio

VF 1 - Ser creciente no implica derivabilidad. Puedes tomar por ejemplo funciones parttidas

$f(x) = \left\lbrace \begin{matrix} x & \text{ si } x < 0\\x+2 & \text{ si } x\geq 0 \end{matrix}\right.$

o incluso funciones continuas $f(x) = \left\lbrace \begin{matrix} x & \text{ si } x < 0\\3x & \text{ si } x\geq 0 \end{matrix}\right.$

ninguna de ellas es derivable en 0, pero ambas son estrictamente creciente

VF 2 - Es el teorema de Weierstrass (teorema 95 de las nota) Tambien esta en las clases de openfing y hay un video en la seccion guias y otrs materiales del tema 3

VF - 4 - La funcion valor absoluto tiene un mínimoo relativo (que además es absoluto) en 0, pero no es derivable. Lo que si vale es que si f ES derivable en un extremo relativo entonces la derivada tiene que ser 0, pero la funcion f no tiene por que ser derivable.

MO 1 - Los ejercicios con funciones partidas para las cuales te piden derivabilidad pueden ser complicados. En este caso es claro que $f$ es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, es decir que solo nos falta estudiar la derivabilidad en 0. Para ello debemos de verificar 2 cosas - que sea continua en el punto y que las derivadas laterales sean iguales. la funcion $f$ va a ser derivable si y solo si se cumplen estas dos cosas.

En este ejercicio, para estudiar la continuidad estudiamos los limite laterales de $f$ en 0 asi como su evaluacion. Es decir tiene que cumplirse que

$\displaystyle f(0) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} f(x)$

En este caso

$f(0) = 1, \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = 1 \text{ y } \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = a + b$

Es decir que para que f sea continua se tiene que cumplir que $a + b = 1$

Realizando ahora el estudio de las derivadas laterales. En este caso, como las expresiones de ambas partes son derivables con derivadas continuas puedes igualar las derivadas de ambas expresiones [es decir $2x+1$ y $a(x-1)^2 +b$]. Pero en general debes estudiar las derivadas laterales.

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \text{ y } \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x) - f(0)}{x} = -2a$

tienes entonces que para que sea derivable (una vez que tenemos que es continua) se debe verificar que $-2a = 2$

Si bien ya esta escalerizado, este es un sistema linea de 2 por 2 por lo que puedes determinar los valores de $a$ y $b$

Saludos