Foro de consultas de teórico

Estoy de acuerdo con tu idea. Y también con que formalmente no tiene sentido, porque los elementos del núcleo de $\bar{f}$ deben ser clases laterales, y no elementos de $G$.

En tu razonamiento estás identificando un elemento $g \in G$ con su clase lateral $gH$. Esto es lo que hace la proyección canónica que aparece en el teorema. Creo que es una identificación tan natural que puede llevar a este tipo de confusión. Pero formalmente $g$ y $gH$ deben considerarse como distintos (aunque estén relacionados).

Eso es lo que te puedo decir. Capaz algún otro docente te puede aportar otra forma de verlo.

Por otro lado, comento por si no está claro, que en el remate de la prueba lo que se usa es que la clase lateral de cualquier elemento $g \in H$ es el propio conjunto $H$. Es decir: si $g \in H$, entonces $gH = H$. Eso vale siempre, para cualquier subgrupo $H$.

Saludos.