Buenas tardes, espero que se encuentren bien. Escribo para hacerles llegar lo que creo son un par de imprecisiones y un error en las notas del curso.
1) (pág. 41) Las hipótesis del Teorema de Euler se enuncian para un entero cualquiera n, cuando la función φ se definió únicamente para los enteros positivos
2) (pág. 41) En la demostración del mismo teorema, asumiendo los cambios de (1) para las hipótesis, se define un conjunto B⊆{1,...,n}. Luego se define una relación binaria b~b'⟺ab≡b'(mod n), y posteriormente se prueba que esta define una función biyectiva tomando b'=resto(ab,n). El problema que encuentro es que si n=1⟹b'=0∉{1,..n}⟹b'∉B. Esto quizás se pueda solucionar definiendo b'=1 para el caso n=1, pero eso te condiciona a tener que dividir por casos durante el resto de la demostración. Yo hallo que es más fácil considerar el caso n=1 al principio, luego asumir n>1 y definir B={b∈{0,...,n-1} | mcd(b,n)=1}, por lo que #B=φ(n) (si n>1). Esto también ayuda a la hora de probar que la relación es funcional, pues al desarrollar se llega a una igualdad modulo n de dos elementos de {0,..,n-1}. El hecho de que estos dos elementos son iguales es una consecuencia directa del teorema de la división entera, a diferencia de si se hiciera con B⊆{1,...,n}.
3) (pág. 54) En la parte 3 de la proposición 3.7.8. se enuncia para un grupo (G, *, e), g∈G:
∀n∈ℤ+ : o(g)=n ⟺ ( g^n = e ∧ ∀p: (p | n ∧ p≠n ∧ p primo) ⟹ g^(n/p)≠e )
Asumamos que el recíproco es cierto, y tomemos (G, *, e) un grupo cualquiera g=e, n=2. Entonces g^n = e^2 = e. Tomemos p tal que p | n ∧ p≠n ∧ p primo. Si p | n entonces p | 2 ⟹ p∈{-2, -1, 1, 2}, pero p es primo ⟹ p = 2 = n. Se llega a un absurdo, pues p≠n y p=n, luego se cumple vacuamente que g^(n/p)≠e . Por lo tanto, se tiene que:
g^n = e ∧ ∀p: (p | n ∧ p≠n ∧ p primo) ⟹ g^(n/p)≠e, entonces o(g)=n, al haber asumido cierto el recíproco.
⟹ o(e)=2, pero o(e)=1 ⟹ ⊥, y el recíproco no puede ser cierto.
Ojalá lo escrito sea de ayuda, espero respuesta. Saludos.
Posibles imprecisiones y error en notas de teórico
Número de respuestas: 2
En respuesta a Lucas Goulart D'Alessandro
Re: Posibles imprecisiones y error en notas de teórico
Actualización:
Viendo con más cuidado el esquema de demostración que escribí en (2), me di cuenta de que no es necesario hacer la distinción entre los casos n=1 y n>1, pues φ(n)=#{b∈{0,...,n-1} | mcd(b,n)=1} para todo n∈ℤ+. Cuando escribí la demostración originalmente, hice la separación por casos ya que es lo mismo que se hace en la demostración del teorema anterior (de la multiplicatividad de φ). Esto implicaría que el problema expuesto en (2) se puede solucionar simplemente cambiando la definición del conjunto B, de B={b∈{1,...,n} | mcd(b,n)=1}, a B={b∈{0,...,n-1} | mcd(b,n)=1}. Surge la pregunta de por qué se separa el caso m=1 ∨ n=1 al principio de la demostración del Teorema 2.6.3. (pág. 39).
Saludos.
Viendo con más cuidado el esquema de demostración que escribí en (2), me di cuenta de que no es necesario hacer la distinción entre los casos n=1 y n>1, pues φ(n)=#{b∈{0,...,n-1} | mcd(b,n)=1} para todo n∈ℤ+. Cuando escribí la demostración originalmente, hice la separación por casos ya que es lo mismo que se hace en la demostración del teorema anterior (de la multiplicatividad de φ). Esto implicaría que el problema expuesto en (2) se puede solucionar simplemente cambiando la definición del conjunto B, de B={b∈{1,...,n} | mcd(b,n)=1}, a B={b∈{0,...,n-1} | mcd(b,n)=1}. Surge la pregunta de por qué se separa el caso m=1 ∨ n=1 al principio de la demostración del Teorema 2.6.3. (pág. 39).
Saludos.
En respuesta a Lucas Goulart D'Alessandro
Re: Posibles imprecisiones y error en notas de teórico
Actualización 2:
Buenas. Actualizo con otros dos errores que me encontré, ambos en el Corolario 3.8.2. (pág 56). El segundo se desprende del error (3) expuesto arriba.
4) En el item 4 de dicho corolario se enuncia para un grupo (G, *, e), g∈G:
G=<g> ⟺ ( ∀d: (d | |G| ∧ d ≠ |G|) ⟹ g^(d)≠e )
Un contraejemplo a esta afirmación es el grupo trivial (G,*,e), G={e}, g=e ⟹ |G|=1, G=<g>. Si la afirmación fuera cierta, entonces tendríamos ∀d: (d | 1 ∧ d ≠ 1) ⟹ g^(d)≠e. Tomemos d tal que d | 1 ∧ d ≠ 1, la única opción es d=-1. Por lo tanto g^(-1)≠e, pero g^(-1)=e^(-1)=e, absurdo. Para ser cierta la afirmación, se debe exigir d>0.
5) En el item 5 del mismo corolario, se enuncia para un grupo (G, *, e), g∈G:
G=<g> ⟺ ( ∀p: (p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo) ⟹ g^(|G|/p)≠e )
Un contraejemplo es el grupo (ℤ₂,+,[0]), g=[0] ⟹ |G|=2, G=<g>. Por lo visto en el error (3) arriba, al ser |G|=2, no existe p tal que : p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo. Por lo tanto se cumple que ∀p: (p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo) ⟹ g^(|G|/p)≠e. Si la afirmación fuera cierta, se tendría que cumplir que G=<g>, pero <g>=<[0]>={[0]}≠G, absurdo.
Saludos.
Buenas. Actualizo con otros dos errores que me encontré, ambos en el Corolario 3.8.2. (pág 56). El segundo se desprende del error (3) expuesto arriba.
4) En el item 4 de dicho corolario se enuncia para un grupo (G, *, e), g∈G:
G=<g> ⟺ ( ∀d: (d | |G| ∧ d ≠ |G|) ⟹ g^(d)≠e )
Un contraejemplo a esta afirmación es el grupo trivial (G,*,e), G={e}, g=e ⟹ |G|=1, G=<g>. Si la afirmación fuera cierta, entonces tendríamos ∀d: (d | 1 ∧ d ≠ 1) ⟹ g^(d)≠e. Tomemos d tal que d | 1 ∧ d ≠ 1, la única opción es d=-1. Por lo tanto g^(-1)≠e, pero g^(-1)=e^(-1)=e, absurdo. Para ser cierta la afirmación, se debe exigir d>0.
5) En el item 5 del mismo corolario, se enuncia para un grupo (G, *, e), g∈G:
G=<g> ⟺ ( ∀p: (p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo) ⟹ g^(|G|/p)≠e )
Un contraejemplo es el grupo (ℤ₂,+,[0]), g=[0] ⟹ |G|=2, G=<g>. Por lo visto en el error (3) arriba, al ser |G|=2, no existe p tal que : p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo. Por lo tanto se cumple que ∀p: (p | |G| ∧ p≠|G| ∧ p primo) ⟹ g^(|G|/p)≠e. Si la afirmación fuera cierta, se tendría que cumplir que G=<g>, pero <g>=<[0]>={[0]}≠G, absurdo.
Saludos.