Duda de la demo de que la operación del grupo cociente esta bien definida

Duda de la demo de que la operación del grupo cociente esta bien definida

de Franco Pelua Camacho -
Número de respuestas: 1

Hola, buenas noches.

Repasando y leyendo las notas de subgrupos normales, no me quedó muy claro una cosa. En la página 15 se comienza la demostración de que si un conjunto cociente es invariante, entonces la operación del grupo cociente inducido está bien definida. Después del desarrollo, llegan a la siguiente expresión:


Seguido de lo siguiente: "(...) donde para la última igualdad definimos hˆ = (g_2)^{−1} ∗ h ∗ g_2. Para finalizar, basta con probar que hˆ \in H; pues esto implica que hˆ ∗h \in H, lo cual a su vez implica que  (g_1 ∗ g_2 ∗ hˆ ∗ h)H = (g_1 ∗ g_2)H ..."

Mi pregunta es, ¿por qué si hˆ \in H entonces vale (g_1 ∗ g_2 ∗ hˆ ∗ h)H = (g_1 ∗ g_2)H? Me perdí un poco ahí.
En respuesta a Franco Pelua Camacho

Re: Duda de la demo de que la operación del grupo cociente esta bien definida

de Matías Valdés -

Buenas.

Ahí lo que usa es que la clase lateral de un elemento k \in H es el propio H. Es decir: si k \in H, entonces k H=H.

En la prueba se usa esta propiedad con k=\hat{h} * h \in H, para argumentar que kH = ( \hat{h} * h ) H = H.

Si no se entiende algo preguntá de nuevo.

Saludos.