Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 7: Cálculo de integrales

Buenas

Primero, las cuentas están bien

Sobre la intuición, de por que son esas las fórmulas, se pueden intuir de varias maneras. Pero ten en cuenta que no se pedía como parte del ejercicio

Primero, La fórmula de $M$ corresponde a la masa, para un objeto de densidad uniforme (igual a 1 pero podría ser cualquier constante). Pues estamos calculando el área y si la densidad del objeto es uniforme, la masa total es área por densidad de masa.

Veamos ejemplos para $M_{x}$. Que ocurre cuando queremos calcular el centro de masa de un sistema finito de partículas en un espacio unidimensional. En ese caso si tenemos partículas $p_{1},...,p_{n}$ de masas $m_{1},...,m_{n}$ en las posiciones $x_{1},..x_{n}$, entonces el centro de masa es $\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} m_{i}}{M}$

Si interpretamos $m$ como una función de $x$ tenemos la formula, en versión sumatoria, de $M_{x}$.

Veamos ahora una idea de como pasar este concepto a continuo.

Esta misma formula discreta vale si tienes finitos cuerpos para los cuales sabes el centro de masa, aunque dichos cuerpos no sean puntuales.

Si tienes cuerpos $V_{1},..,V_{n}$ con masas $m_{1},...,m_{n}$ y centros de masa con coordenadas en el eje x $x_{1},...,x_{n}$ entonces el centro de masa del sistema, en la coordenada $x$ es $\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} m_{i}}{M}$

En el ejemplo (dibujo) tomando todos los rectángulos con la misma densidad tenemos $x_{1} = 2, m_{1} = 4, x_{2} = 5, m_{2} = 2, x_{3}=9, m_{3} =16$

Como pasamos entonces de estas formulas a la integral. Recordando las sumas superiores o inferiores

Asumiendo que no hay problema con el "pasaje al límite" puedes tomar los rectángulos de una suma inferior equispaseada. Esos rectángulos tienen como altura "el valor de la función en un punto" y como base $1/n$ por el tamaño del intervalo.

Cuando calculas la integral de la función $f$ calculas las áreas de esos rectángulos base $[x_{i},x_{i+1}]$ altura "$f(x)$" sin embargo para el centro de masa debes agregar también la coordenada en $x$ que seria el punto intermedio del intervalo. Es decir, siendo muy informal la suma quedaría

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (x_{k+1} - x_{k})$"$f(x) x$" que seria una suma para la función $g(x) = f(x) x$

Para $M_{y}$ se puede realizar un estudio análogo.

Si quieres puedes ir al practico de los miércoles y viernes a las 16 y tratamos en mas detalle este ejercicio.

Si quieres que sea mas detallado y formal en la prueba, escribo bien cada argumento y lo subo (repito, ten en cuenta que no se pedía que dedujeran esto)

Saludos