Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 6: Derivación

Buenas

En este ejercicio la idea no era usar LHopital, pero una vez que conoces la herramienta no esta mal usarla.

Respecto al primer limite de derivada lateral, cuando planteas

$\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{\sin(x)}-1}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x}$

En realidad me gustaría que justificaras esa igualdad. Podrías aplicar LHopital como en el siguiente límite, o bien podrías plantear que para la función $g(x) = e^{\sin(x)}-1$ se tiene que $\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{\sin(x)}-1}{x} = g^{\prime}(0) = \cos(0)e^{\sin(0)} = 1$.

El problema relativo al $\alpha$ en lo que planteas es que derivaste mal $\sin(\alpha x)$, ya que $(\sin(\alpha x))^{\prime} = \alpha \cos( \alpha x)$

De esto puedes deducir que $\alpha$ tiene que ser igual a $1$.

Si tienes mas dudas vuelve a escribir

Saludos