Hola,
Acordate que el gráfico de la función
dada por
es la mitad del círculo de radio 1, por lo que el área del círculo de radio 1 es
.
Ahora, si encontrases una función
cuyo gráfico sea la mitad del círculo de radio r, entonces tendrías que el área del círculo de radio r es
.
Bueno, resulta que a la
la obtenés a partir de la
mediante "operaciones lineales". Más en concreto,
(podés ir graficando todo lo que digo en geogebra). Lo que está pasando es que contraés el intervalo
hasta el intervalo
cuando dividís por
, luego aplicás la función
, y luego estirás las imágenes cuando multiplicás por
.
Bueno, la cuestión es que con la igualdad
podés hacer cambio de variable lineal para calcular
en función de
.
Acordate que el gráfico de la función
![f_1:[-1,1]\to\mathbb{R} f_1:[-1,1]\to\mathbb{R}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d356759579bbdb847516eb6cc766d1fe.png)
![f_1(x)=\sqrt{1-x^2} f_1(x)=\sqrt{1-x^2}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/72d4d4630c9025aca2bda5cda0e09424.png)
![A(1)=2\int_{-1}^1 f_1(x)dx A(1)=2\int_{-1}^1 f_1(x)dx](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/cbb9077daea80a02268cb1cfd276e84c.png)
Ahora, si encontrases una función
![f_r:[-r,r]\to\mathbb{R} f_r:[-r,r]\to\mathbb{R}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/6774c4bf3606f457d516f504a34ed2cc.png)
![A(r)=2\int_{-r}^r f_r(x)dx A(r)=2\int_{-r}^r f_r(x)dx](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/138458fba4848fb71a23e456e75dc696.png)
Bueno, resulta que a la
![f_r f_r](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/495d185a59f5e6748176a22ce3f9a67b.png)
![f_1 f_1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/c354bdd39692a0ba3f80f7c733f4e0eb.png)
![f_r(x)= r f_1\left(\frac{x}{r}\right) f_r(x)= r f_1\left(\frac{x}{r}\right)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0a97b18c576eee69f9f5541a14ca8b68.png)
![[-r,r] [-r,r]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/41b4ab49507fdfa895adf70e230ce557.png)
![[-1,1] [-1,1]](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/d060b17b29e0dae91a1cac23ea62281a.png)
![r r](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png)
![f_1 f_1](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/c354bdd39692a0ba3f80f7c733f4e0eb.png)
![r r](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png)
Bueno, la cuestión es que con la igualdad
![f_r(x)= r f_1\left(\frac{x}{r}\right) f_r(x)= r f_1\left(\frac{x}{r}\right)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0a97b18c576eee69f9f5541a14ca8b68.png)
![\int_{-r}^r f_r(x)dx \int_{-r}^r f_r(x)dx](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/10415369798505202c033876387ce3c6.png)
![\int_{-1}^1 f_1(x)dx \int_{-1}^1 f_1(x)dx](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5d182a47e26836fac7660d3620106f07.png)