Consultas del libro de ejercicio - Capítulo 3: Integración

Hola,

Acordate que el gráfico de la función $f_1:[-1,1]\to\mathbb{R}$ dada por $f_1(x)=\sqrt{1-x^2}$ es la mitad del círculo de radio 1, por lo que el área del círculo de radio 1 es $A(1)=2\int_{-1}^1 f_1(x)dx$.

Ahora, si encontrases una función $f_r:[-r,r]\to\mathbb{R}$ cuyo gráfico sea la mitad del círculo de radio r, entonces tendrías que el área del círculo de radio r es $A(r)=2\int_{-r}^r f_r(x)dx$.

Bueno, resulta que a la $f_r$ la obtenés a partir de la $f_1$ mediante "operaciones lineales". Más en concreto, $f_r(x)= r f_1\left(\frac{x}{r}\right)$ (podés ir graficando todo lo que digo en geogebra). Lo que está pasando es que contraés el intervalo $[-r,r]$ hasta el intervalo $[-1,1]$ cuando dividís por $r$, luego aplicás la función $f_1$, y luego estirás las imágenes cuando multiplicás por $r$.

Bueno, la cuestión es que con la igualdad $f_r(x)= r f_1\left(\frac{x}{r}\right)$ podés hacer cambio de variable lineal para calcular $\int_{-r}^r f_r(x)dx$ en función de $\int_{-1}^1 f_1(x)dx$.