Primer parcial-2023-primer semestre

Primer parcial-2023-primer semestre

de Rodrigo Molina Verdum -
Número de respuestas: 1

Buenas,

Quería consultar si está disponible la solución a los ejercicios de este parcial, ya que en la carpeta no la encuentro. Más específicamente, me interesa saber la solución del ejercicio 6.

En respuesta a Rodrigo Molina Verdum

Re: Primer parcial-2023-primer semestre

de Marcos Barrios -

Buenas

La idea de este ejercicio es revisar las afirmaciones para detectar la correcta.

Voy a irlas enumerando y probando si son falsas o no.

Recordemos que la funcion f es f(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \text{ si } x < 0 \\ x+1 & \text{ si } x \geq 0\end{matrix}\right.

Opcion A: \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 (\vert x \vert < \delta \Rightarrow \vert f(x) - 1 \vert < \epsilon)

Esta afiramción es falsa. Esta afirmación (observando que f(0) = 1) corresponde a la definicion de continuidad en 0, y la función f no es continua en 0. Para verificar puedes tomar \epsilon < 1/2 y observar que para todo \delta > 0 se tiene que  \vert f(-\delta/2) - 1 \vert = 1 > \epsilon

Opcion B: \forall \epsilon > 0, \forall \delta > 0 \exists x \in \mathbb{R} tal que \vert x \vert < \delta \text{ y } \vert f(x) - 1\vert > \epsilon

Esta afirmación es falsa. Intuitivamente la afirmación dice que tan cerca como quieras de 0 tenes puntos x para los cuales f(x) estan tan lejos como quieras de 1. Para verificar que es falsa podemos tomar \epsilon = 3 y \delta = 1, en ese caso para todo x tal que  -1 < x < 1 se cumple que 0 < f(x) < 2 y por tanto \vert f(x) -1\vert < 2 < \epsilon

Opcion C: \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 (\vert x \vert < \delta \Rightarrow \vert f(x) \vert > \epsilon)

Esta afirmación es falsa. Basta ver que para todo x < 0 se cumple que f(x) = 0 luego no se verifica que \vert f(x) \vert > \epsilon

Opción D: \forall \epsilon > 0, \forall \delta > 0\, \exists x \in \mathbb{R} tal que  0 < x < \delta \text{ y } \vert f(x) - 1\vert \leq \epsilon

Esta afirmacion es verdadera. Dados \epsilon > 0 y \delta > 0 si tomamos x = \min\{\epsilon/2,\delta/2\} se cumple que 0 < x \leq \delta/2 < \delta y \vert f(x) - 1 \vert \leq \vert \epsilon/2 + 1 - 1\vert < \epsilon

Opción E: \exists \epsilon > 0 \forall x \in \mathbb{R}, \vert f(x) - 1 \vert < \epsilon

Esta afirmación es falsa. La afirmacion es equivalente a que la función f este acotada y no es el caso. Para todo \epsilon > 0 el punto x = \epsilon +1 verifica que \vert f(x) -  1\vert = \epsilon + 1 > \epsilon

Opción F: \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0(\vert x - 1 \vert < \delta) \Rightarrow \vert f(x) \vert < \epsilon

Esta afirmación es falsa. Esta afirmacion la definicion de continuidad de f en 1 pero con f(1) = 0. Puedes argumentar similar a la opción A

Ten en cuenta que este ejercicio es MO y que habia un grafico de la función por lo que a la hora de realizar el parcial no era necesario probar formalmente cada opcion.

Cualquier duda vuelve a escribir

Saludos