Consultas de pruebas anteriores

Buenas

La idea de este ejercicio es revisar las afirmaciones para detectar la correcta.

Voy a irlas enumerando y probando si son falsas o no.

Recordemos que la funcion $f$ es $f(x) = \left \{ \begin{matrix} 0 & \text{ si } x < 0 \\ x+1 & \text{ si } x \geq 0\end{matrix}\right.$

Opcion A: $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 (\vert x \vert < \delta \Rightarrow \vert f(x) - 1 \vert < \epsilon)$

Esta afiramción es falsa. Esta afirmación (observando que $f(0) = 1$) corresponde a la definicion de continuidad en 0, y la función $f$ no es continua en 0. Para verificar puedes tomar $\epsilon < 1/2$ y observar que para todo $\delta > 0$ se tiene que  $\vert f(-\delta/2) - 1 \vert = 1 > \epsilon$

Opcion B: $\forall \epsilon > 0, \forall \delta > 0 \exists x \in \mathbb{R}$ tal que $\vert x \vert < \delta \text{ y } \vert f(x) - 1\vert > \epsilon$

Esta afirmación es falsa. Intuitivamente la afirmación dice que tan cerca como quieras de 0 tenes puntos $x$ para los cuales $f(x)$ estan tan lejos como quieras de 1. Para verificar que es falsa podemos tomar $\epsilon = 3$ y $\delta = 1$, en ese caso para todo $x$ tal que  $-1 < x < 1$ se cumple que $0 < f(x) < 2$ y por tanto $\vert f(x) -1\vert < 2 < \epsilon$

Opcion C: $\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 (\vert x \vert < \delta \Rightarrow \vert f(x) \vert > \epsilon)$

Esta afirmación es falsa. Basta ver que para todo $x < 0$ se cumple que $f(x) = 0$ luego no se verifica que $\vert f(x) \vert > \epsilon$

Opción D: $\forall \epsilon > 0, \forall \delta > 0\, \exists x \in \mathbb{R}$ tal que $0 < x < \delta \text{ y } \vert f(x) - 1\vert \leq \epsilon$

Esta afirmacion es verdadera. Dados $\epsilon > 0$ y $\delta > 0$ si tomamos $x = \min\{\epsilon/2,\delta/2\}$ se cumple que $0 < x \leq \delta/2 < \delta$ y $\vert f(x) - 1 \vert \leq \vert \epsilon/2 + 1 - 1\vert < \epsilon$

Opción E: $\exists \epsilon > 0 \forall x \in \mathbb{R}, \vert f(x) - 1 \vert < \epsilon$

Esta afirmación es falsa. La afirmacion es equivalente a que la función $f$ este acotada y no es el caso. Para todo $\epsilon > 0$ el punto $x = \epsilon +1$ verifica que $\vert f(x) -  1\vert = \epsilon + 1 > \epsilon$

Opción F: $\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0(\vert x - 1 \vert < \delta) \Rightarrow \vert f(x) \vert < \epsilon$

Esta afirmación es falsa. Esta afirmacion la definicion de continuidad de $f$ en $1$ pero con $f(1) = 0$. Puedes argumentar similar a la opción A

Ten en cuenta que este ejercicio es MO y que habia un grafico de la función por lo que a la hora de realizar el parcial no era necesario probar formalmente cada opcion.

Cualquier duda vuelve a escribir

Saludos