3.6-10.a

Re: 3.6-10.a

de Marcos Barrios -
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Buenas

En este caso tenemos una composición, de una función monótona y la función [] (distancia a el/los entero más cercanos). El hecho de que \sqrt{x} sea monótona simplifica el problema.

Puedes ver ejemplos similares con la función \lfloor \rfloor Enlace

Vayamos entonces a este ejemplo

Una manera es pensar la función [x] como una función partida. En este caso \sqrt(x) \in [1,2] para todo x \in [1,4] por lo que basta con 2 tramos.

[x] = \left\lbrace \begin{array}{ll} x-1 & \text{ si } x \in [1,\frac{3}{2}] \\ 2-x & \text{ si } x \in [\frac{3}{2},2]\end{array}\right.

por lo que la composición pasa a ser

[\sqrt{x}] = \left\lbrace \begin{array}{ll} \sqrt{x}-1 & \text{ si } \sqrt{x} \in [1,\frac{3}{2}] \\ 2-\sqrt{x} & \text{ si } \sqrt{x} \in [\frac{3}{2},2]\end{array}\right.

Para x \in [1,4] la condición \sqrt{x} \in [1,\frac{3}{2}] es equivalente a x \in [1,\frac{9}{4}]. De forma análoga para \sqrt{x} \in [\frac{3}{2},2] podemos concluir que

[\sqrt{x}] = \left\lbrace \begin{array}{ll} \sqrt{x}-1 & \text{ si } x \in [1,\frac{9}{4}] \\ 2-\sqrt{x} & \text{ si } x \in [\frac{9}{4},2]\end{array}\right.

Recuerda que para esta sección ya puedes utilizar cuanto es \int_{a}^{b} \sqrt{x}dx

Cualquier cosa vuelve a escribir

Saludos