GAL2-1S: Ejercicio 6.3

Buenas! Tengo una duda puntual sobre el ejercicio:

Hallé los valores (raíces) propios de $\chi _T (\lambda )$ que son $\lambda _1 = 2$ y una raíz doble que es $\lambda _2 = -2$

Es decir, tengo un vector propio $v_1$ asociado a $\lambda _1 = 2$ y dos vectores $v_2 , v_3$ asociados ambos a $\lambda _2 = -2$

Mi duda es: puedo tener una base $B$ de $V=\mathbb{R} ^3$ sabiendo que dos vectores están asociados al mismo valor propio? Me afecta en algo eso a la hora de determinar si los vectores son o no L.I.?

Porque en sí me gustaría tener $B= \begin{Bmatrix}v_1,&v_2,&v_3\end{Bmatrix}$ base de $V$ , y tengo que $T(v_1)=2v_1$ , $T(v_2)=-2v_2$ y $T(v_3)=-2v_3$

Re: Ejercicio 6.3

de Juan Morelli - jueves, 4 de abril de 2024, 11:48

Hola Alexis.
Sabés que

$v_1$ es L.I. con

$\{v_2,v_3\}$ porque son vectores propios asociados a valores propios diferentes.
Por otra parte, si

$\{v_2,v_3\}$ es un conjunto también L.I., entonces

$\{v_1,v_2,v_3\}$ es base de

$\mathbb{R}^3$ formada por vectores propios. Y esto es independiente de si provienen de un mismo valor propio o no.
Acordate de que en teórico vimos ejemplos de transformaciones diagonalizables que tienen "pocos" valores propios pero igual podemos encontrar una base, exactamente como en el ejemplo que preguntaste.
¡Saludos!