Ejercicio 5 (parte 1 y 2)

Ejercicio 5 (parte 1 y 2)

de Brenda Abigail Tabarez Muniz -
Número de respuestas: 4
En ambas partes llegué a que los vectores y matrices son linealmente dependientes. ¿Es posible entonces hallar las expresiones generales de las T.L?
En respuesta a Brenda Abigail Tabarez Muniz

Re: Ejercicio 5 (parte 1 y 2)

de Juan Piccini -
Hola Brenda.
Depende, si te fijas en la primera parte tienes que v_3=\alpha v_1+\beta v_2 , sin embargo T(v_3)\neq \alpha T(v_1)+\beta T(v_2) por lo que no puede existir una TL tal.
En la segunda parte no tienes esa incoherencia, pero tienes 4 vectores LD.  
Puedes quitar los que sean CL del resto y quedarte con un conjunto LI que no es base de V. 
Entonces tienes a T definida sobre un LI que no es base.
Sabemos que si conocemos las imágenes por T de una base entonces conocemos T(v)\; \forall v\in V .
La idea es pensar en que podemos hacer cuando tenemos T de un LI que no es base, cómo "rellenar" para poder tener a T definida en todo V.
Saludos
J.
En respuesta a Juan Piccini

Re: Ejercicio 5 (parte 1 y 2)

de Alexis Sokorov Vargas -
Buenas tardes, tengo una duda respecto a la parte 2 del ejercicio y es que no entiendo cómo hallar _B(T)_A , comprobé que A sea base (me da que su det es no nulo) pero luego no sé cómo encaminar el asunto.
Había considerado tomarme una matriz genérica: \begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{3}&a_{4}\end{pmatrix} = \alpha_1 \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} + \alpha_3 \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix} + \alpha_4 \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} pero la verdad es que no creo llegar a ningún lado así.
Capaz tenga que hacer algo con la parte 1 pero no creo.
En respuesta a Alexis Sokorov Vargas

Re: Ejercicio 5 (parte 1 y 2)

de Juan Piccini -

Hola Alexis.

Llamemos  A=\{v_1,v_2,v_3,v_4\} y B=\{w_1,w_2\} .

Para armar la matriz pedida, primero calculas T(v_1) . 

Esto te da un vector de \mathbb{R}^2 el cual puede escribirse como CL de la base B, o sea que existen dos coeficientes, dos escalares \alpha_1,\alpha_2: T(v_1)=\alpha_1 w_1+\alpha_2 w_2 .

Encuentras dichos coeficientes (que son las coordenadas de T(v_1) en la base B) y ya tienes la primera columna de la matriz.

Repites con T(v_2) y tienes la segunda columna, etc.

Es aplicar la definición de matriz asociada a una TL.

Saludos

J.
En respuesta a Alexis Sokorov Vargas

Re: Ejercicio 5 (parte 1 y 2)

de Eduardo Canale -
Hola Alexis, creo que tal vez tu confusión venga de que la T no queda determinada por sus valores en los valores que te dan, pues la matrices
 \left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array}\right) \text{y}\quad \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{array}\right)
No son L.I. ¿puede ser? En ese caso debes ver com ohallar una fórmula general para todas las T posibles, ya que hay muchas. Y luego hacer lo que dice Juan en el mensaje.