Foro de dudas del práctico 1

Buen día, tengo una duda sobre este ejercicio:

Sabiendo que $B= \begin{Bmatrix}(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\end{Bmatrix} \underrightarrow{b}  \mathbb{R} ^3$ ($det(B) \neq 0$) me planteé un vector genérico $(x,y,z) \in  \mathbb{R} ^3 , (x,y,z) = \alpha (1,0,0) + \beta (1,1,0) + \delta (1,1,1)$ y llegué a que :

$(x,y,z)=(x-y)(1,0,0)+(y-z)(1,1,0)+z(1,1,1)$

$T(x,y,z)=(x-y)T(1,0,0)+(y-z)T(1,1,0)+zT(1,1,1)= (x-y)(2,1,0)+(y-z)(1,1,0)+z(0,0,1)=(2x-3y+z,x+y-2z,3y-2z)$

No sé si ese planteo me determina que EXISTE una T.L. (que queda determinada por esos valores de $x$ , $y$ y $z$) , pero comprobé con los valores de la base y efectivamente me da lo mismo que los transformados