Buenas,
No es necesario ver que las derivadas parciales son continuas, de hecho, podrían no serlo y la función igual ser diferenciable. La función
es diferenciable en
si existen
tal que
tal que
. En caso de que la función efectivamente sea diferenciable, entonces
y
son las derivadas parciales, por lo tanto si los candidatos a utilizar para ver si el límite del resto nos da
.
Saludos,
Leandro
No es necesario ver que las derivadas parciales son continuas, de hecho, podrían no serlo y la función igual ser diferenciable. La función
![f f](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png)
![(0,0) (0,0)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/5c16f757233856dcf311176b7410d2d5.png)
![a,b \in \mathbb{R} a,b \in \mathbb{R}](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/4b75457fcc9dcaae298d75a1244b7b64.png)
![f(x,y)=f(0,0)+ax +by +r(x,y) f(x,y)=f(0,0)+ax +by +r(x,y)](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/7e68625608d50ad0397336e635f2bc46.png)
![\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)}{\lVert (x,y) \rVert} = 0 \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)}{\lVert (x,y) \rVert} = 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/46b7d04d54e05bbfd4d13e0bf2d2c4e9.png)
![a a](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png)
![b b](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png)
![0 0](https://eva.fing.edu.uy/filter/tex/pix.php/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png)
Saludos,
Leandro