2parcial 2022 1 semestre. ejercicio 7

2parcial 2022 1 semestre. ejercicio 7

de Federica Pereira Piñeyrua -
Número de respuestas: 1

Buenas, tengo una duda de la resolución de este ejercicio. Al ver si la f es diferenciable, utiliza la definición y tenia entendido que para usar las derivadas parciales en la definición de diferenciabilidad se tiene que comprobar si son continuas en el punto, en este caso en (0,0) pero en la solución no se planteo eso, sino que se usaron directamente. 

yo había planteado esto para ver si la derivada parcial en x es continua pero me surgió esta duda de el limite, ya que si utilizo diferentes rectas me queda distinto. en x=0 me queda continua pero en el otro no. Desde ya muchas gracias

En respuesta a Federica Pereira Piñeyrua

Re: 2parcial 2022 1 semestre. ejercicio 7

de Leandro Bentancur -
Buenas,
No es necesario ver que las derivadas parciales son continuas, de hecho, podrían no serlo y la función igual ser diferenciable. La función f es diferenciable en (0,0) si existen a,b \in \mathbb{R} tal que f(x,y)=f(0,0)+ax +by +r(x,y) tal que \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)}{\lVert (x,y) \rVert} = 0. En caso de que la función efectivamente sea diferenciable, entonces a y b son las derivadas parciales, por lo tanto si los candidatos a utilizar para ver si el límite del resto nos da 0.
Saludos,
Leandro