Hola Federica,
Primero, para el procedimiento que mencionás no es necesario verificar que la función sea continua y que las derivadas parciales sean continuas (esto último puede no ser cierto), solamente hace falta calcular las derivadas parciales en el punto y luego verificar que el límite de la definición de diferenciabilidad da
. Varias veces pasa que en el mismo ejercicio también se pregunta sobre continuidad u otras propiedades de la función, pero si queremos ver es solamente si es diferenciable entonces no es necesario hacer lo otro (y si efectivamente es diferenciable tenemos algunas de esas propiedades de regalo). Sin esos pasos no es tan largo el procedimiento.
Lo que decís de utilizar la condición suficiente de diferenciabilidad es cierto, puede que sea más fácil o más sencillo de esta forma, y también puede llegar a pasar que las derivadas parciales no sean continuas pero la función sí sea diferenciable (un ejemplo de esto es el ej 9 del p8).
Una forma de ver que una función es diferenciable sin utilizar la definición es descomponer la función como suma, producto y composición de funciones que sí sabemos que son diferenciables, que es el método que utilizamos más habitualmente (aunque justo cuando tenemos la función definida por partes falla).
Saludos,
Leandro
Primero, para el procedimiento que mencionás no es necesario verificar que la función sea continua y que las derivadas parciales sean continuas (esto último puede no ser cierto), solamente hace falta calcular las derivadas parciales en el punto y luego verificar que el límite de la definición de diferenciabilidad da
. Varias veces pasa que en el mismo ejercicio también se pregunta sobre continuidad u otras propiedades de la función, pero si queremos ver es solamente si es diferenciable entonces no es necesario hacer lo otro (y si efectivamente es diferenciable tenemos algunas de esas propiedades de regalo). Sin esos pasos no es tan largo el procedimiento.Lo que decís de utilizar la condición suficiente de diferenciabilidad es cierto, puede que sea más fácil o más sencillo de esta forma, y también puede llegar a pasar que las derivadas parciales no sean continuas pero la función sí sea diferenciable (un ejemplo de esto es el ej 9 del p8).
Una forma de ver que una función es diferenciable sin utilizar la definición es descomponer la función como suma, producto y composición de funciones que sí sabemos que son diferenciables, que es el método que utilizamos más habitualmente (aunque justo cuando tenemos la función definida por partes falla).
Saludos,
Leandro