CDIVV-2S: Ej. 4.e)

Hola, en la solución dice que cuando y=1, x distinto de 0 solo existen las der. Direccionales según (lambda, 0) con lambda perteneciente a los reales. Pero no sería que las direcciones solo existen según (lambda, 1) con lambda perteneciente a los reales?

Re: Ej. 4.e)

de Leandro Bentancur - lunes, 30 de octubre de 2023, 13:09

Hola Clementina,

La definición de derivada en la dirección

$(v_1,v_2)$ en un punto

$(x,1)$ es el

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+hv_1, 1+hv_2) - f(x,1) }{h}$ , por lo tanto si

$v_2 =0$ la primera evaluación de

$f$ es sobre la recta

$y=1$ , y si

$v_2=1$ no lo es. Esto es que desde el pto

$(x,1)$ nos tenemos que mover por direcciones

$(v_1,0)$ para permanecer en la recta

$y=1$ .

Para tener una idea geométrica, no hay que pensar al vector

$(v_1,v_2)$ como un vector basado en el origen, sino como un vector con origen en el punto

$(x,y)$ , donde queremos calcular la derivada direccional, y final en el punto

$(x,y)+(v_1,v_2)$ .

Cualquier cosa volvé a comentar nomás.

Saludos,
Leandro

Re: Ej. 4.e)

de Emanuel Riero Quinche - jueves, 2 de noviembre de 2023, 21:12

Buenas profe, cómo está?

Yo me tranque un poco con este ejercicio, no me doy cuenta de la existencia de las derivadas direccionales, le dejo abajo mi desarrollo, como podría seguir, o que debería hacer distinto?

Re: Ej. 4.e)

de Leandro Bentancur - viernes, 3 de noviembre de 2023, 13:38

Hola Emanuel, bien y vos?
Está perfecta la intención de separar entre qué sucede en la región superior a la recta

$y=1$ y qué sucede en la región inferior. El tema es que para evaluar no alcanza con saber solamente que

$v_2 >0$ porque luego

$t$ puede ser positivo o negativo, y eso hacer que el punto

$(\lambda + t v_1, 1 +tv_2)$ quede en una u otra región. Podemos asumir

$v_2 > 0$ y el otro caso nos va a quedar análogo. Tenemos entonces que queremos calcular

$\frac{\partial f}{\partial v} = \lim_{t \to 0} \frac{ f(\lambda + t v_1, 1 +tv_2) - f(\lambda,1) }{t}$ , y este límite existe si y solamente existen y son iguales los siguientes dos límites:

$\lim_{t \to 0^{+} } \frac{ f(\lambda + t v_1, 1 +tv_2) - f(\lambda,1) }{t} = \lim_{t \to 0^{-} } \frac{ f(\lambda + t v_1, 1 +tv_2) - f(\lambda,1) }{t}$

El primero de estos límites es:

$\lim_{t \to 0^{+} } \frac{ f(\lambda + t v_1, 1 +tv_2) - f(\lambda,1) }{t} = \lim_{t \to 0^{+} } \frac{ (\lambda + t v_1) - \lambda^3 }{t}$
Al desarrollarlo nos va a quedar

$v_1 \lambda^2$ , porque en definitiva, estamos haciendo una derivada direccional en la región donde la función es

$x^3$ .

Luego hacemos lo mismo con

$t \to 0^{-}$ y vemos qué valores tienen que tener

$v_1$ y

$v_2$ para que esos dos resultados coincidan.

Fijate si con eso sale y sino volvé a consultar nomás con lo que te tranques o genere alguna duda.

Saludos,
Leandro

Re: Ej. 4.e)

de Josefina Behrens Lorenzi - viernes, 24 de noviembre de 2023, 16:13

Buenas, queria consultar sobre los limites mencionados:
En el caso que t tiende a cero +, me quedo que el limite es 3(𝜆^2)v1 no v1(𝜆^2).

Luego, el caso que t tiende a cero menos, el limite me quedo 0 (luego de desarrollar las potencias se me anulan todos los términos con t y me queda x^3-x^3 en el numerador por lo que es 0/t=0).

Al igualar estas condiciones deduci que v1 debe ser cero, por lo que solo existirian las derivadas direccionales del tipo v=(0,v2). Sin embargo, en las soluciones dice que solo existen las derivadas cuando v= (v,0) y no entiendo porque.