Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Buenas, tengo un par de dudas acerca de este ejercicio:

$(1)$ No entiendo muy bien cómo ver la continuidad en el $(0,0)$ Capaz es $f(0,0)=1$ porque justo ahí $y=x ^2$

$(2)$ Traté de ver sus derivadas parciales y llegué a lo siguiente:

$f(x,y)=1$ cuando $y \geq x^2$ y ambas derivadas parciales en $(0,0)$ (en caso de existir) valen ambas $0$

Pero fuera de esa desigualdad, trato de utilizar la definición de derivada parcial y me da que no existe. Entonces llego a la conclusión de que sería la opción $B$ pero no sé si sea así ni tampoco tengo forma de corroborar porque no hay respuestas para ese simulacro