Buenas,

Voy por partes.

En el $iii)$, el resultado se deduce del teorema fundamental del cálculo. En el caso de la derivada parcial en $x$, para aplicar el teorema la variable en la que derivamos está en el borde superior de la integral, por lo que tendríamos que invertir el orden de integración, y tenemos que $f(x,y)=\int_{x}^{y} g(t) dt = - \int_{y}^{x} g(t) dt$.

En el $iv)$, un punto crítico es un punto donde el gradiente se anula, por lo que tendríamos que $g(x)=-g(x)=0$, lo que no es posible por hipótesis. Sobre lo que comentás, la función puede no ser acotada pero tener puntos críticos. Ejemplos de esto en funciones de una variable son $x^2$ y $x^3$.

Sobre el otro ejercicio, te animás a copiar la letra?

Saludos,
Leandro