Ejercicio 11b

Ejercicio 11b

de Alexis Sokorov Vargas -
Número de respuestas: 3

Buenas no entiendo la solución al siguiente problema:



Traté de razonarlo como en la parte (a) pero tomándome y=mx y evaluar  \lim_{x \to 0} f(x,mx) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{mx} = \frac{1}{m} entonces supuse que, si depende de m , el \lim no existe pero creo que viendo la solución no es por ese lado.

La función es continua salvo cuando y=0
En respuesta a Alexis Sokorov Vargas

Re: Ejercicio 11b

de Leandro Bentancur -
Hola Alexis,
Con eso estás probando que la función no es continua en el punto (0,0). La idea es ver que pasa en un punto (a,0) con a genérico. Una forma de escribir las rectas que pasan por (a,0) es de la forma (a,0)+t (\alpha,\beta), donde (\alpha,\beta) es la dirección de la recta por la que nos estamos acercando. Entonces los límites direccionales nos quedan lim_{t \to 0} f(a+t \alpha, 0+t \beta). Una recomendación para ayudar a entenderlo sería representar gráficamente esto para un punto, una dirección y su correspondiente recta.
Saludos,
Leandro
En respuesta a Leandro Bentancur

Ejercicio 11b

de Tomás Vignolo Anandez -
Pero en y=x=0 no seria continua también?
En respuesta a Tomás Vignolo Anandez

Re: Ejercicio 11b

de Mateo Musitelli -
Hola Tomás, ¿cómo estás?

Estás haciendo eferencia al punto "problemático" del ejercicio. En (x,y)=(0,0) la función vale 0, mientras que en B^*(\overrightarrow{0},\delta) la función vale \frac{x}{y}.

Lo anterior implica estudiar el límite cuando nos aproximamos al origen por un x cualquiera, por ello se sugiere el estudio del límite cuando (x,y)\rightarrow (a,0).

La continuidad en dicho punto implicaría que el límite converja al valor funcional de la función en dicho punto, cosa que no sucede.

Quedo atento a tu respuesta.

Saludos,

M