MD1-2S: Práctico 7 - Ejercicio 1

Hola, haciendo este ejercicio me surgieron un par de dudas:

En cuanto a la parte c, como las definiciones de las propiedades comienzan con un "para todo (elemento del conjunto)" y este conjunto no tiene elementos, podríamos decir que se cumplen todas las propiedades a la vez, ¿no?

Me genera confusión la propiedad asimétrica, yo la tengo definida como $\forall x,y \in A, xRy \implies y(\text{not } R)x$ . Así, entiendo que esto incluye al caso $x = y$ ; por lo que, para que una relación pueda ser asimétrica, necesariamente debe ser irreflexiva, ¿no? En ese caso, en términos matriciales, ¿está bien decir que la relación es asimétrica sii la intersección de la matriz asociada con su traspuesta es la matriz nula?

Desde ya. muchas gracias.

Saludos,

Leandro

Re: Práctico 7 - Ejercicio 1

de Gabriel Mello - martes, 10 de octubre de 2023, 23:38

Hola Leandro.

Sobre lo que preguntás de la parte c, sí y no.
Sí es cierto que si tenés una propiedad de la forma "para todo x en B, P(x)" la propiedad se cumple cuando B es el conjunto vacío. A esto le llamamos que se cumple "por vacuidad" (justamente porque B es vacío, no hay ningún elemento de B para el cual no se cumpla). Esto se puede entender de la siguiente forma:
Cuando escribimos "para todo x en B, P(x)" en verdad eso es una abreviatura para "para todo x, si x pertence a B entones P(x)" (esto se llama relativización de cuantificadores). Luego como cuando B es el vacío el antecedente es falso, la implicancia es verdadera.
Lo que no es cierto es que cuando en este ejercicio R es el conjunto vacío, A sea vacío. A sigue siendo el mismo conjunto de 4 números y por lo tanto es fácil ver que por ejemplo la reflexiva es falsa ya que 1 no se relaciona con 1.

Todo lo que decís en cuanto a la propiedad asimétrica es correcto. Asimétrica implica irreflexiva (y por contrarecíproco entonces se deduce que si no es irreflexiva no es asimétrica). La caracterización que das con las matrices es correcta, se puede demostrar haciendo la cuenta con cuidado (no es largo ni difícil).

Capaz que fue sólo una forma de expresarte, pero no veo ninguna confusión de tu parte. Si sigue habiendo algo que no te quede claro o no te convenza no dudes en volver a preguntar.

Saludos,
Gabriel