Hola, buenas tardes. Estaba repasando topología e intentando demostrar las proposiciones por mi cuenta antes de volver a leerlas de las notas, y llegue a demostrar algo de forma distinta a como lo demuestran en las notas. Entendí la demostración de las notas pero me gustaría saber si a lo que llegue esta bien o tiene algún error conceptual.
La proposición es la siguiente: Sea $C$ un conjunto. Si $C$ contiene a todos sus puntos de acumulación $ \implies $ $C$ es cerrado
Mi demostración fue la siguiente: Sea $p$ un punto de acumulación de $C$, por hipótesis, $p$ $\in$ $C$. Supongamos que $C$ es abierto, entonces todos sus puntos son interiores, lo que implica que no existen puntos de $C$ aislados, en particular, $p$ es no aislado. Por definición, un punto de acumulación cumple que: $\forall$ $\epsilon$ $>$ $0$, $B*(p, \epsilon)$ $\cap$ $C$ $\ne$ $\emptyset$. Observar que los puntos frontera de C cumplen: $\forall$ $\epsilon$ $>$ $0$, $B(p, \epsilon)$ $\cap$ $C$ $\ne$ $\emptyset$. Como $p$ es no aislado y de acumulación, $p$ podría ser frontera, pues los puntos frontera no aislados son puntos de acumulación (todo punto frontera no aislado interseca con su conjunto y su complemento, más no nos interesa que interseque también con su complemento). Pero si $p$ es un punto frontera, entonces no es interior, y como $p$ $\in$ $C$, entonces $C$ no es abierto $\implies$ $C$ es cerrado.
No me resulta del todo claro si puedo asumir que si o si van a existir puntos fronteras para cualquier conjunto, por ahí puede ser un posible error eso.
Muchas gracias de antemano.
