sucesiones en Rn

sucesiones en Rn

de Alexis Sokorov Vargas -
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Buenas tardes, tengo una duda respecto a lo siguiente:

¿Cuando menciona que (a_{k,2})_{k  \in N_1} es acotada pero no necesariamente convergente es cuando se toma el nuevo índice N_2 ?


No me queda del todo claro el cierre de la demostración: