Ejercicio 7.5

Ejercicio 7.5

de Facundo Rodríguez Martínez -
Número de respuestas: 2

Hola, quería hacer una consulta sobre la parte de hallar P{X+Y>4}. No entiendo cuál sería el recorrido de X+Y, si X e Y fueran discretas se sumarían los recorridos de ambas variables, pero al ser abs continuas no me doy cuenta.

De paso aprovecho a preguntar una duda más que nada teórica; si tenemos X e Y dos variables aleatorias, decimos que éstas son independientes sí y solo sí:
1)PXY(x,y) = PX(x)PY(y) 
2)FXY(x,y) = FX(x)FY(y)
3)fXY(x,y) = fX(x)fY(y)

Si estamos en el contexto de vectores discretos, es lo mismo decir que son independientes si se cumple 1 o 2? Y en un vector continuo, es lo mismo decir que son independientes si se cumple 2 o 3?
Es decir, son equivalentes?

Gracias y perdón la molestia

En respuesta a Facundo Rodríguez Martínez

Re: Ejercicio 7.5

de Martin Schmidt Agorio -
Hola Facundo,

Vamos primero con el ejercicio. Si tengo un vector aleatorio abs continuo (X,Y) , la probabilidad de que (X,Y) pertenezca a una cierta región A, se calcula como $$P((X,Y) \in A) = \iint_A f_{XY}$$. 

El conjunto A en este caso seria el semi-plano por encima de la recta Y = X-4. Pero $$f_{XY}$$ vale 0 en los puntos fuera del cjto $$\{(x,y)/ x\in[0,4], y\in[1,5]\}$$. Por lo tanto la región en la que tendríamos que integrar es la sombreada de la figura. 

Una forma de calcular esa integral es calcular la integral en el cuadrado $$\{(x,y)/ x\in[0,4], y\in[1,5]\}$$ que vale 1 (por ser una función de densidad) y restarle la integral $$\int_{0}^{3} \int_{1}^{4-u} kuv \, dv \, du$$ que es la zona no sombreada dentro del cuadrado. 

En cuanto a la duda teórica, la respuesta es que si, en el caso discreto 1 implica 2 y viceversa; y en el caso continua 3 implica 2 y viceversa. 
Adjunto Screenshot 2023-09-17 203649.png