Hola, buenos días.
Adjunto la letra del ejercicio:
Estoy teniendo dudas de haber entendido como resolverlo. Hice un desarrollo pero no se si esta bien, lo adjunto a continuación.
Partiendo de la definición de distribución conjunta:
$$ F_{X,Y}(x,y)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f_{X,Y}(x,y)dydx $$,
se observa que derivando dos veces $$F_{X,Y}$$, una vez respecto a $$x$$ y otra vez respecto a $$y$$, se obtiene la función de densidad conjunta:
$$ \frac{\partial ^{2}F_{X,Y}}{\partial x \partial y} = f_{X,Y} $$.
Si derivamos la función que da la letra, terminas obteniendo:
$$f_{X,Y} = 1$$ $$\forall x \in [0, 1)$$, $$y \geq x$$; y
$$f_{X,Y} = 0$$ en otro caso.
Primero derive respecto a $$x$$, luego respecto a $$y$$. Aquí ya noto que me estoy perdiendo de algo. Según observo, si hubiese derivado en el orden inverso, hubiese llegado a lo mismo, pero en una sección distinta del dominio; Además, la integral de $$f_{X,Y}$$ así como yo la hallé, no da $$1$$ sino que da $$\frac{1}{2}$$
A pesar de estas observaciones, continúe tal que: Habiendo hallado la función de densidad $$f_{X,Y}$$, podes integrar respecto de $$y$$ para obtener la distribución marginal de $$x$$, y por separado, integrar respecto de $$x$$ para obtener la distribución marginal de $$y$$.
$$\int_{x}^{1} 1dy = 1-x = F_{X}(x)$$; y
$$\int_{0}^{1} 1dx = 1 = F_{Y}(y)$$.
Si bien los intervalos de integración deberían haber sido tomados de $$-\infty$$ a $$+\infty$$, los tome así por como esta definida la función de densidad.
Agradezco comentarios al respecto. Estoy seguro de que hay algo mal, pero no me doy cuenta de que.
¡Saludos!