Primer parcial 2do semestre - ejercicio 4

Primer parcial 2do semestre - ejercicio 4

de Julieta Rosas Cibic -
Número de respuestas: 2

Buenas! No logro llegar a la respuesta de este ejercicio. Pude probar que la integral converge si alfa es mayor a 1 pero no encuentro como probar que es convergente si es mayor a 0. Como puedo hacer?

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En respuesta a Julieta Rosas Cibic

Re: Primer parcial 2do semestre - ejercicio 4

de Leandro Bentancur -

Hola Julieta,

Tenemos :

\frac{1+e^{-x} }{log(x) (1+x log^{\alpha} (x))}=\frac{1+e^{-x} }{log(x) + x log^{\alpha +1} (x)}=\frac{1 }{log(x) + x log^{\alpha +1} (x)} +\frac{e^{-x} }{log(x) + x log^{\alpha +1} (x)}

La integral del segundo sumando converge porque es una función más chica que e^{-x}, por lo tanto la convergencia de la suma va a depender de si la integral del primer sumando converge o no. Para eso podemos usar que \frac{1 }{log(x) + x log^{\alpha +1} (x)} es equivalente a \frac{1 }{x log^{\alpha +1} (x)}, y estudiar esta última. Fijate si podés estudiar la convergencia de esa integral (es el ej 2a del práctico 5), cualquier cosa me comentás de nuevo por acá.

Saludos,

Leandro