2do sem 2022 EJ 2

2do sem 2022 EJ 2

de Alfonso Caprile Reyes -
Número de respuestas: 5

Buenas tenía una duda sobre el siguiente ejercicio:



Hice lo siguiente pero la verdad no se como interpretar la tercera serie


Es un producto que va hasta n empezando por logaritmo de 2, pero el primer termino de la suma sería, log(2) log(3)..... log(2) ? no se si me explico, pero siento que no tiene sentido. 

En respuesta a Alfonso Caprile Reyes

Re: 2do sem 2022 EJ 2

de Leandro Bentancur -
Hola Alfonso,
La productoria comenzaría en n=2. Podés pensar que ese cociente es menor que \frac{log(n-2)log(n-1)log(n)}{(n-2)(n-1)n} por ejemplo, y estudiar la convergencia de esa serie. Fijate si con esa te sale y sino comentame nomás.
Saludos,
Leandro
En respuesta a Leandro Bentancur

Re: 2do sem 2022 EJ 2

de Alfonso Caprile Reyes -
Llegue a lo siguiente: 

Lo que no entiendo es cómo determinar que la sucesión es menor   que 

En respuesta a Alfonso Caprile Reyes

Re: 2do sem 2022 EJ 2

de Leandro Bentancur -
Una forma es aplicando la exponencial que es una función creciente y mantiene la desigualdad, ahí te va a quedar más sencilla.
En respuesta a Leandro Bentancur

Re: 2do sem 2022 EJ 2

de Alexis Sokorov Vargas -
Buenas, tengo dos dudas:
en la primera serie, ¿por qué diverge? ¿No te queda \frac{1}{n \frac{1}{n} } = 1 ? O sea la \sum por más que vaya a \infty es igual a 1 o no?
Segundo, es posible que \frac{\log(2)\log(3)\log(4)...\log(n)}{n!} = \frac{\log(n!)}{n!} ?
Y poder aplicar criterio del cociente?
En respuesta a Alexis Sokorov Vargas

Re: 2do sem 2022 EJ 2

de Leandro Bentancur -
Buenas Alexis,

En la primera estás mezclando la convergencia del término gral con la convergencia de la serie. En este caso el término gral converge a algo distinto de 0, por lo que la serie diverge.

Sobre la última, no es cierto que el logaritmo del producto sea el producto de los logaritmos. Lo que si sabemos es que el logaritmo del producto es la suma de los logaritmos, pero no nos sirve en este caso. Cuidado también que al principio de la segunda imagen afirmás que \frac{a}{b} = \frac{e^a}{e^b} y eso no es cierto, podés verificarlo para 2 y 1 por ejemplo. Podés sí usar el criterio del cociente con la expresión que ya está dada, se te van a cancelar un montón de cosas por lo que tiene sentido intentar con ese criterio.

Saludos,
Leandro