CDIVV-2S: Ejercicio 6

Buen día, tengo una duda sobre la parte $a)$

Para el punto de aglomeración igual a 2 consideré la sucesión $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y vi que, conforme

$n \rightarrow + \infty$ ,

$a_n$ converge a

$2$ , entonces me tomé la subsucesión

$a_{n_k} = a_{2k} = \frac{2(2k)}{2k + 1}$ (subsuc. de múltimplos de 2)
y evalué el límite de esa subsucesión.

$\lim_{k \rightarrow \infty}a_{n_k}=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{2(2k)}{2k+1}=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{2(2k)}{2(k+\frac{1}{2})}=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{2k}{k+\frac{1}{2}}=\lim_{k \rightarrow \infty}\frac{2k}{k}=2$
Entonces deduje que

$h=2$ sí es punto de aglomeración, pero no sé si esa sea la forma de hacer el ejercicio

Re: Ejercicio 6

de Leandro Bentancur - martes, 29 de agosto de 2023, 14:43

Hola Alexis,

Buscamos una sucesión tal que el conjunto de sus puntos de aglomeración sea $\{ 1,2,3,4\}$ , es decir, que haya al menos una subsucesión que converja a $1$ , al menos una subsucesión que converja a $2$ , otra a $3$ , otra a $4$ , y que no haya subsucesiones que converjan a otro valor real distinto de esos cuatro.

En la sucesión que elegiste mostrás correctamente que $2$ es punto de aglomeración. De hecho sucede que la sucesión converge a $2$ por lo que todas sus subsucesiones convergen a ese valor, por lo que la sucesión no tendrá otros puntos de aglomeración y no nos sirve para la sucesión que buscamos.

Avisame si ahora sí está más claro lo que pide el ejercicio y si no te sale o tenés alguna consulta volvés a escribir nomás.

Saludos,

Leandro