ejercicio 6

ejercicio 6

de Ayelén Larrosa Laporta -
Número de respuestas: 5

Hola, en este ejercicio no logro entender lo de punto de aglomeración, en la parte a logre entender el ejemplo pero en la b no.No entiendo como darme cuenta cual sería la sucesión para que subsucesiones de ella tengan como limite cada natural.

En la parte c, no logro entender por qué 0 no podría ser un punto de aglomeración,si tomamos 1/n como subsucesion,esta tiene limite 0

En respuesta a Ayelén Larrosa Laporta

Re: ejercicio 6

de Leandro Bentancur -
Hola Ayelén,

En la parte a) obtuviste cuatro subsucesiones donde cada una convergía a un valor distinto, y para eso encontraste cuatro copias disjuntas de los naturales dentro del conjunto de los números naturales, es así?
Ahora para la parte b) necesitamos infinitas subsucesiones donde cada una converge a un número natural distinto, y por lo tanto vamos a precisar infinitas copias disjuntas dentro de los naturales dentro del conjunto de los números naturales. Si no se te ocurre cómo, te recomiendo leer algún artículo o ver algún video sobre el Hotel de Hilbert (por ejemplo este: https://www.youtube.com/watch?v=iAF37vVeV-Y).
Por último, para la parte c) es buena la pregunta que te hacés de si 0 es un punto de acumulación o no. Para aclarar, la sucesión no necesariamente tiene que contener los valores \frac{1}{n}, podría tener subsucesiones donde cada una converge a un valor de la forma \frac{1}{n} pero sin alcanzar ese valor nunca. En ese caso, el 0 también sería necesariamente punto de aglomeración o no?

Saludos,
Leandro
En respuesta a Leandro Bentancur

Re: ejercicio 6

de Alexis Sokorov Vargas -
Buenas tardes, disculpa, no entiendo cómo hacer la parte a), vi la solución y aún así no logro comprender cómo formar mi sucesión que cumpla con la condición
En respuesta a Leandro Bentancur

Re: ejercicio 6

de Ayelén Larrosa Laporta -
Hola, en el caso de la parte c sigo sin entender, porque se supone que no se puede porque si tiene punto de aglomeracion 1/n necesariamente tiene que estar el 0 pero segun yo entiendo, en el conjunto1/n, el 0 no esta, por eso sigo sin entender porque no se podria tener una sucesion con punto de aglomeracion en todo 1/n sin tener en el 0. Por otra parte, en la resolucion del b, ya estaria bien definir la subsucesiones asi? Porque no se plantea el an ni esta definida por recurrencia.
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En respuesta a Ayelén Larrosa Laporta

Re: ejercicio 6

de Leandro Bentancur -
Sobre la parte b), con escribirla de esa forma alcanza y entender por qué cumple lo pedido. Te comento una forma de definir esa sucesión por recurrencia por si te interesa que sería definir a_0 =1, y para a_{n+1} tomar la siguiente regla, si a_n es mayor a a_k para todos los k menores a n, entonces a_{n} = 1, sino entonces a_{n+1} = a_n + 1. Esto es, si sos más grande (estrictamente) que todos los valores anteriores entonces volvés a 1, y sino seguís creciendo.

Sobre la parte c), sugeriría que primero pienses en un ejemplo de una sucesión concreta que cumpla que \frac{1}{n} es límite de alguna subsucesión para cada n (podes usar la parte b) de insumo para construir este ejemplo). Luego observá que 0 va a ser punto de aglomeración para esta sucesión que pensaste. Finalmente podés ver que el argumento de por qué 0 es punto de aglomeración para esa sucesión en realidad te va a servir para pensar en cualquier sucesión que tenga a A incluida en sus puntos de algomeración.

Saludos,
Leandro