Segundo parcial - ejercicio 9

Segundo parcial - ejercicio 9

de Zoé Castro Brando -
Número de respuestas: 3

Hola, estaba leyendo la solución de este ejercicio y me perdí en el momento que se usa Lagrange, no entiendo por qué. Llegué a plantear la aproximación por Taylor y luego no sabría como seguir.


En respuesta a Zoé Castro Brando

Re: Segundo parcial - ejercicio 9

de Bruno Yemini -

Hola Zoé.

El problema pide la segunda cifra decimal de \sin (1/3). Como seno es una función francamente horrible de calcular, justamente aproximarla con un polinomio de Taylor en un punto bonito es una solución sensata (por ejemplo 0, el polinomio de Taylor de seno alrededor de 0 es lindo).

El tema es, suponiendo que tenemos un polinomio de taylor P_n, con n razonablemente grande, ¿cómo sabemos con certeza que P_n(1/3) coincide en la segunda cifra decimal con \sin(1/3)?

Ahí es dónde entra la estimación del resto y la fórmula de Lagrange. Sabemos que \sin(1/3) = P_n(1/3) + r_n(1/3). Si queremos que P_n(1/3) coincida hasta la segunda cifra decimal con \sin(1/3) alcanza que r_n(1/3) < 0,001 porque en practicamente todos los casos (hay que tener cuidado si la segunda cifra decimal es 0 o 9) esa aproximación es más que suficiente. El problema es que la fórmula de Lagrange -que es una fórmula explicita para el resto- dice

\displaystyle r_n(1/3) = \frac{f^{(n)}(c)}{(n+1)!}\left(\frac{1}{3^{n+1}}\right).

Con c \in (0,1/3). Buenísimo, pero no nos dice quién es explicitamente c. Ahí es donde entra todo el juego de estimación que hacen en la solución que mostrás.

En resumen: el polinomio de Taylor te da un valor aproximado a \sin(1/3), la estimación del resto -ya sea usandon la fórmula de Lagrange o la fórmula integral- es lo que te permite decir qué tan buena es la aproximación del valor que te da el polinomio de Taylor.

Espero que esto te haya aclarado un poco el uso del resto, saludos
En respuesta a Bruno Yemini

Re: Segundo parcial - ejercicio 9

de Zoé Castro Brando -
Bien, entendí un poco más, pero de donde sale la fórmula de Lagrange? No la conocía y no entiendo por qué el resto se puede calcular así. Además sigo sin entender como saca que el error es menor o igual a algo y después hace todo lo que hace, me pierdo en toda esa parte.
En respuesta a Zoé Castro Brando

Re: Segundo parcial - ejercicio 9

de Bruno Yemini -
Hola Zoé, las fórmulas para el resto (ya sea la de Lagrange o la formula integral del resto) las vimos en la última semana de clase. Si por alguna razón te las perdiste podés ver en la Hoja de Ruta de la última semana bibliografía y clases de openfing dedicadas al tema -para esto último la clase 42 sirve-.

Sin embargo, si estás preparando el examen podés no estresarte mucho con este tema pues lo hemos eximido (acá el anuncio) en consideración con la gente que cursó Cálculo DIV el semestre par de 2022, pues no vieron el tema.


Por último, para completar y responder tus preguntas, toda esa estimación del error es porque sabemos que:

\displaystyle r_{2n+1}(1/3) = \frac{f^{(2n+2)}(c)}{(2n+2)!}\left(\frac{1}{3^{2n+2}}\right),

-de vuelta, esto es por la fórmula del resto de Lagrange, te recomiendo leas su enunciado-. No sabemos quién es c \in (0,1/3), pero sabemos que f^{(2n+2)} es \sin o -\sin -dependiendo de n, pero las derivadas pares del seno son así-, luego en cualquier caso se tiene que -1 \leq f^{(2n+2)}(c) \leq 1. Por lo tanto

\displaystyle 0 \leq \left\vert r_{2n+1}(1/3)\right\vert  = \frac{\left\vert f^{(2n+2)}(c)\right\vert}{(2n+2)!}\left(\frac{1}{3^{2n+2}}\right) \leq \frac{1}{(2n+2)!}\left(\frac{1}{3^{2n+2}}\right).

Basta elegir n de manera que
\displaystyle \frac{1}{(2n+2)!}\left(\frac{1}{3^{2n+2}}\right) < \frac{1}{1000},
y de esa forma sabemos que el resto va a ser menor que 0,001, y por lo tanto, el polinomio de taylor de seno centrado en 0 va a aproximar bien a \sin(1/3) en, seguro, las dos primeras cifras decimales.

Saludos,
Bruno