Consultas de pruebas anteriores

Hola, perdón por la tardanza en responder.

Creo que acá te haces un pequeño enredo entre calcular la derivada de $f$ en $x=0$ y la derivada de la expresión $x^2\sin(1/x)$, esta última expresión no está definida en 0.

Justamente, si $x\neq 0$, la derivada es $f'(x) = 2x\sin(1/x) + \cos(1/x)$. Y, como expresas (no muy bien), no existe el límite $\lim_{x\to 0} \cos(1/x)$ y por lo tanto no tiene límite $f'(x)$ cuando $x \to 0$. En realidad eso te dice en particular que $f'(x)$ no es continua en $x=0$ (recordá que para que $f'$ sea continua tiene que existir ese límite, además de ser igual a $f'(0)$.

Ahora, para derivar en 0 no podés usar las reglas de cálculo en $x^2\sin(1/x)$ porque, justamente, esa expresión no está definida en 0. No nos queda más remedio que usar la definición de derivada. Como dices arriba, $f'(0) = 0$. Lo que confirma que: $f$ es derivable en 0 y $f'$ no es continua en 0. En definitiva, la opción correcta es la (c).

Hay que tener cierto cuidado al usar las derivadas que nos dan las reglas de cálculo, porque son las derivadas de las expresiones que usamos, si en el punto a derivar la expresión que define la función cambia (por ejemplo, porque estamos en una función definida a trozos), las reglas de cálculo no servirán y tendremos que recurrir a la definición de derivada.

Espero haber aclarado esta duda a ti y a todos los que la tengan, cualquier cosa pregunten.

Saludos