Consultas de pruebas anteriores

Buenas

No se si entiendo del todo tu consulta

Voy a comentar los últimos pasos y cualquier cosa vuelve a escribir.

$(f^{-1})^{\prime}(x) = \frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}$

De las propiedades anteriores tienes que $f^{\prime}(t) = \sqrt{1+f^{2}(t)}$. Luego evaluando en $f^{-1}(x)$ (es decir tomando $t = f^{-1}(x)$) tienes que

$f^{\prime}(f^{-1}(x)) = \sqrt{1+f^{2}(f^{-1}(x))}$

Bien aquí tienes que tener cuidado con la notación $f^{2}(t)$ hace referencia a $f(t) \times f(t)$, mientras que $f^{-1}$ hace referencia a la función inversa de $f$ y por tanto $f(f^{-1}(x)) = x$.

Juntando todo tenemos que

$\displaystyle f^{\prime}(f^{-1}(x)) = \sqrt{1+f^{2}(f^{-1}(x))} = \sqrt{1 + f(f^{-1}(x)) \times f(f^{-1}(x))} = \sqrt{1+x^2}$

Como mencione antes no entendí del todo tu duda, por lo que si no era esto vuelve a escribir

Saludos