Consultas de pruebas anteriores

Buenas

La condición relativa a las rectas tangentes te permite concluir que $g^{\prime}(x+1) = f^{\prime}(x)$.

Traslademos ese pequeño desfasaje Notemos $h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función $h(x) = g(x+1)$,

Como $h^{\prime}(x) = g^{\prime}(x+1) = f^{\prime}(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$ entonces $h \text{ y } f$ difieren en una constante. Es decir existe $K \in \mathbb{R}$ tal que $h(x) = f(x) + K$ por tanto

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) + K = K$.

Como $h(x) = g(x+1)$ podemos concluir que el limite de $g$ en infinito existe, más precisamente  $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} g(x) = \lim_{x \to + \infty} h(x) = K$

Necesitamos ahora encontrar ese valor de $K$, para eso usaremos la propiedad III

Como $g(x+1) = h(x)$ realizando un cambio de variable lineal tenemos que $\displaystyle \int_{0}^{2} g(x) dx = \int_{-1}^{1} h(t) dt$. Luego como $h(x) = f(x) +K$ tenemos que

$\displaystyle \int_{-1}^{1} h(t) dt = \int_{-1}^{1} f(t) + K dt = 2K + \int_{-1}^{1}f(t)dt$.

Aplicando la propiedad III se tiene que $\displaystyle \int_{0}^{2} g(t) dt = \int_{-1}^{1} f(t)dt - 2$ por tanto $K = -1$

Cualquier cosa vuelve a escribir

Saludos