parcial 2019 v o f

parcial 2019 v o f

de Ayelén Larrosa Laporta -
Número de respuestas: 3

Hola, tengo una consulta sobre como se da cuenta que tiene que evaluar las raices solo en [-1,1] porque antes dice que la funcion siempre va a ser menor a uno pero nunca dice porque no toma un intervalo hasta menos infinito

además, para darme cuenta si es un mínimo relativo o absoluto, tengo que tomarme un entorno en el mínimo y fijarme si los f(x) son todos mayores a f(minimo)? gracias 

Adjunto 36B7560D-C680-4B81-81DC-692686C60343.jpeg
En respuesta a Ayelén Larrosa Laporta

Re: parcial 2019 v o f

de Francisco Carballal -

Hola.

La función que debe ver cuántas raíces tiene es es f(x)=sen\left(\frac{x}{x^2+1}\right). El razonamiento que hace es viendo que esa función es la composición del seno con otra función g(x):

f(x)=sen(g(x)) donde g(x)=\frac{x}{x^2+1}.

El razonamiento es que para que f(x)=0, necesariamente sen(g(x)) debe ser 0, por lo que g(x) debe valer una raiz del seno, o sea g(x)=k\pi para algún k\in\mathbb{Z} (que son los valores en los que el seno se anula).

El razonamiento que hace muestra que g(x) siempre cumple -1\leq g(x) \leq 1, por lo que solo puede alcanzar las raíces del seno que están en [-1,1]. Esta es solamente 0, por lo que para tener raíz de f(x), lo que debe cumplirse es que g(x)=0. Por ejemplo, sen(\pi) también es 0, pero como -1\leq g(x)\leq 1, nunca va a poder valer \pi. Debido a eso solo nos interesa el caso g(x)=0.

Finalmente, viendo la fórmula de g(x) (o sea \frac{x}{x^2+1} ) el caso g(x)=0 se da solamente con x=0, así que la única raiz de f(x) es x=0.

Espero ayudar.

Saludos
En respuesta a Francisco Carballal

Re: parcial 2019 v o f

de Ayelén Larrosa Laporta -
Hola, muchas gracias. No me termino de quedar claro por que con ese razonamiento se da cuenta que g(x) siempre esta entre [-1,1].Eso se cumple porque la función sen(x) tiene sus imagenes es ese intervalo y por ser una compuesta de ella cumple eso g(x)?
En respuesta a Ayelén Larrosa Laporta

Re: parcial 2019 v o f

de Francisco Carballal -
Buenas,
Para eso el seno no entra en juego. Es algo que utiliza solo la forma de g(x).
Lo que hace es demostrar que |g(x)|\leq1, lo cual es lo mismo que decir que está en [-1,1].
Prueba que |g(x)|\leq1 para cualquier x\in\mathbb{R}, pero hace la prueba separando en dos casos: primero cuando |x|\leq1 y después cuando |x|>1. Hace esa separación en casos porque con eso se prueba más fácil. En ambos casos arranca a la izquierda con |g(x)| y en ambos prueba que es menor o igual (o directamente menor) que 1, asi que se concluye que para cualquier x, |g(x)|\leq1, o sea que g(x) está en [-1,1].

Espero que aclare.
Saludos