Consultas de pruebas anteriores

Buenas.

La más confusa es la (A). Parece verdadera pero de hecho es falsa por un contraejemplo que no es obvio. El contraejemplo es el ejercicio 6.8.7 (en el práctico de derivadas), una función definida por casos en el que el principal es $x/2+x^2sen(1/x)$.

Esa función cumple que su derivada es positiva en $0$, pero tan cerca como quieras hay lugares en los que decrece. Está bueno visualizarla con alguna herramienta computacional (x ejemplo geogebra) y hacer zoom en el origen para entender lo que pasa.

Las siguientes tres partes no requieren ejemplos tan rebuscados, así que te doy algunas pistas pero te dejo pensarlo: hay dos que son falsas y lo vez dando casos particulares de funciones que no cumplen lo que se dice. Por otra parte, hay una que se deduce del teorema de valor medio de Lagrange, es esa la verdadera. Si no tenés claro ese teorema, te recomiendo repasarlo.

Espero ayudar.

Saludos!