Consultas de pruebas anteriores

Buenas,
Para eso el seno no entra en juego. Es algo que utiliza solo la forma de g(x).
Lo que hace es demostrar que |g(x)|$\leq$1, lo cual es lo mismo que decir que está en [-1,1].
Prueba que |g(x)|$\leq$1 para cualquier $x\in\mathbb{R}$, pero hace la prueba separando en dos casos: primero cuando $|x|\leq1$ y después cuando $|x|>1$. Hace esa separación en casos porque con eso se prueba más fácil. En ambos casos arranca a la izquierda con |g(x)| y en ambos prueba que es menor o igual (o directamente menor) que 1, asi que se concluye que para cualquier x, |g(x)|$\leq$1, o sea que g(x) está en [-1,1].

Espero que aclare.
Saludos